最小生成树——Prim算法

 

最小生成树是图这一数据结构里最常讨论的方面之一。

 

先用一下几个概念回忆一下什么是最小生成树：

        连通图：任意两个结点之间都有一个路径相连

        生成树（Spannirng Tree）：连通图的一个极小的连通子图，它含有图中全部n个顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边

        最小生成树（Minimum Spannirng Tree）：连通图的最小代价的生成树（各边的权值之和最小）

 

最小生成树性质（MST性质）：

        设G=(V，E)是一个连通网络，U是顶点集V的一个真子集。若(u，v)是G中一条“一个端点在U中(例如：u∈U)，另一个端点不在U中的边(例如：v∈V-U)，且(u，v)具有最小权值，则一定存在G的一棵最小生成树包括此边(u，v)。

        证明：http://fdcwqmst.blog.163.com/blog/static/164061455201010392833100/

 

构造最小生成树的两种方法：Prim算法和Kruskal算法。它们都利用了MST性质；都使用贪心策略，一次生成一条权值最小的“安全边”。

 

下面看一下Prim算法的具体内容。

算法思想：

        1. 从图中选取一个节点作为起始节点（也是树的根节点），标记为已达；初始化所有未达节点到树的距离为到根节点的距离；

        2. 从剩余未达节点中选取到树距离最短的节点i，标记为已达；更新未达节点到树的距离（如果节点到节点i的距离小于现距离，则更新）；

        3. 重复步骤2直到所有n个节点均为已达。

上述过程应该是很清晰的，下面看一下Prim算法的C语言实现： 

#define N 10            // 定义最大节点数，实际有几个是几个
#define MAXDIST 100        // 最大距离，表示两个节点间不可达, 为了输入方便设置成100，实际可用INT_MAX

// 为了计算方便传入的距离矩阵用指针数组的格式，n是节点数
int Prim(int (*map)[N], int n)
{
    int i, j;
    int minDist, minIndex, totalWeight;
    int *visited, *parent, *dist;    // 分别保存节点的已达标志，父节点，到树的距离

    // 申请空间并清零
    visited = (int *)malloc(n * sizeof(int));
    parent = (int *)malloc(n * sizeof(int));
    dist = (int *)malloc(n * sizeof(int));

    memset(visited, 0, n * sizeof(int));
    memset(parent, 0, n * sizeof(int));
    memset(dist, 0, n * sizeof(int));

    // 初始化，设置节点0为根节点
    visited[0] = 1;
    totalWeight = 0;

    // 初始化未达节点到树的距离
    for (i = 1; i < n; ++i)
    {
        parent[i] = 0;
        dist[i] = map[0][i];
    }

    printf("
Edge	Weight
");

    // n - 1次循环找出n - 1条边
    for (i = 0; i < n - 1; ++i)
    {
        minDist = MAXDIST;
        minIndex = i;

        // 找出到树距离最小的节点
        for (j = 1; j < n; ++j)
        {
            if (visited[j] == 0 && dist[j] < minDist)
            {
                minDist = dist[j];
                minIndex = j;
            }
        }

        if (minIndex == i)        // 所有节点到树的距离都为MAXDIST，说明不是连通图，返回
        {
            printf("This is not a connected graph!
");
            return MAXDIST;
        }

        // 标记并输出找到的节点和边
        visited[minIndex] = 1;
        totalWeight += minDist;
        printf("%d-->%d	%3d
", parent[minIndex], minIndex, map[parent[minIndex]][minIndex]);

        // 更新剩余节点到树的距离
        for (j = 1; j < n; ++j)
        {
            if (visited[j] == 0 && map[j][minIndex] < dist[j])
            {
                parent[j] = minIndex;
                dist[j] = map[j][minIndex];
            }
        }
    }

    printf("
Total Weight: %d

", totalWeight);

    return totalWeight;
}

再写一个测试函数验证一下功能：

int main()
{
    int map[N][N];
    int i, j;
    int n, tmp;

    printf("Num of nodes: ");
    scanf("%d", &n);

    printf("Distance matrix (lower triangular) : ");
    for (i = 1; i < n; ++i)
    {
        map[i][i] = 0;

        for (j = 0; j < i; ++j)
        {
            scanf("%d", &tmp);
            map[i][j] = tmp;
            map[j][i] = tmp;
        }
    }

    Prim(map, n);

    return 0;
}

测试图的距离矩阵如下：

因为无向图矩阵是对称的，所以程序中设置只要输入下三角数据即可，也就是下面这些：

也就是输入的数据是这些： 4 2 5 3 4 1 100 3 100 6 100 100 2 2 4

 

下面是程序运行截图：

算法效率 O(n^2)：

        很明显对于每个节点（初始节点除外），都要进行此次遍历查找距离树最近的节点 O(n)，和一次更新操作O(n)，所以总的时间复杂度为O(n^2)。

优化：

        上述过程中，冗余操作在于对已经标记为可达的节点，在每次遍历查找和更新时，都还要访问一次。优化的关键就在于如何避免这种操作。

        使用优先队列（Priority Queue），或叫堆（Heap），将每次更新的节点加入到队列中，而且保证队列有一定的大小顺序（每次调整的时间复杂度O(logn)）。而查找具有最小距离的元素，只需要取队列首个元素再调整队列（O(logn)）。所以取出n个节点，总的时间复杂度为O(nlogn)。

        很明显这是空间换时间的策略，效果相当可观。但是在数据量大的情况下，可能会因为内存不足而无法工作。