牛客小白月赛9 A签到（乘法逆元）

你在一栋楼房下面，楼房一共有n层，第i层每秒有p_i的概率会扔下一个东西并砸到你
求第一秒内你被砸到的概率

输入描述:

第一行一个整数n
之后有n行，第i+1行有两个整数a

_i

,b

_i

，表示

输出描述:

设答案为

，你只需要找到一个最小的非负整数T，使得

输出这个T就行了

示例1

输入

复制

2
1 2
1 2

输出

复制

750000006

说明

一共只有如下状态：

1. 第一层和第二层都扔了下来

2. 第一层扔了下来

3. 第二层扔了下来

4. 第一层和第二层都没有扔下来

以上四种都是等概率发生的

除了第四种情况外，都会被砸到

因此被砸到的概率是 3/4，这个值在模1e9+7意义下就是750000006

备注:

数据范围
0 ≤ n ≤ 10

⁵

1 ≤ a

_i

 ≤ b

_i

 ≤ 10

⁵

 

思路：题意很好懂，主要是求逆元

对逆元不熟悉

 

例如：4关于1模7的乘法逆元为多少？

4X≡1 mod 7

这个方程等价于求一个X和K，满足

4X=7K+1

其中X和K都是整数。

若ax≡1 mod f, 则称a关于1模f的乘法逆元为x。也可表示为ax≡1(mod f)。

当a与f互素时，a关于模f的乘法逆元有解。如果不互素，则无解。如果f为素数，则从1到f-1的任意数都与f互素，即在1到f-1之间都恰好有一个关于模f的乘法逆元。

求此算法还可以使用费马小定理

只不过局限性比较大，要求模数是素数

a^(p-1)

1(mod p)

p要求是素数

那么a^(p-2)就是a的乘法逆元

 

 

 

首先是逆元的模板：

// 扩展欧几里得做法；
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;

ll ex_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)//扩展欧几里得（扩展gcd）
{
    if (a==0&&b==0) return -1;
    if (b==0){x=1;y=0;return a;}
    ll d=ex_gcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return d;
}

ll mod_inverse(ll a,ll mod)//乘法逆元
{
    ll x,y;
    ll d = ex_gcd(a,mod,x,y);
    return (x%mod+mod)%mod;
}
int low_bit(int x){return x&(-x);}
int main()
{
    for(int i=0;i<=16;i++)
        cout<<i<<' '<<low_bit(i)<<endl;
    return 0;
}

解题代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;
#define ll long long
ll ex_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)//扩展欧几里得（扩展gcd）
{
    if (a==0&&b==0) return -1;
    if (b==0){x=1;y=0;return a;}
    ll d=ex_gcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return d;
}

ll mod_inverse(ll a,ll mod)//乘法逆元
{
    ll x,y;
    ll d = ex_gcd(a,mod,x,y);
    return (x%mod+mod)%mod;
}
long long gcd(long long a,long long b)
{
    long long c=1;
    while(c)
    {
        c=a%b;
        a=b;
        b=c;
    }
    return a;
}
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    long long a,b,c,sum_a=1,sum_b=1;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        cin>>a>>b;
        c=gcd(a,b);
        a/=c;
        b/=c;
        sum_a*=b-a;
        sum_b*=b;
        sum_b%=1000000007;
        sum_a%=1000000007;
    }
    c=gcd(sum_a,sum_b);
    sum_a/=c;
    sum_b/=c;
    sum_a=(sum_b-sum_a+1000000007)%10000000007;
    c=mod_inverse(sum_b,1000000007);
    cout<<c*sum_a%1000000007;
}