意识到数据结构和算法很重要，那还是源于去年保研期间的一些经历。也一直想着抽出一段时间来学习，无奈人忙事杂，先是练车学驾照耗费了一些时日，前段时间出了趟国，去东南亚几个国家走了一遭，玩了一个月，自然相当开心，这事以后也还会讲，再加上一直陆续做自己的个人网站，也一直没闲着。这不，自己的个人网站V1.0前天上线，最近也没有太多事情，就拿起书，正式的学。
书用的是Mark Allen Weiss写的《数据结构与算法分析——C语言描述》，现在看了前两章，看得出语言相当精简，例子也都非常适宜，很详实，书本身也不厚，讲这么多的东西，理解起来自然也就有些难度。说回来，C语言还是大一的时候学的，当时也是第一次接触编程语言，学的多烂自己也清楚，这几年接触的语言，像Python和JavaScript等，抽象性都非常高，突然转到C，还有些不适应，因此在看这本书的时候，反而有很长的时间再温习C语言的书。
废话少说，直接步入正题！
具体的代码，除非自己觉得相当好的，否则就不贴了。
第一章讲了一些基本的概念，其实是灌输一些思想：解决问题的方法也许有很多，在面临大量输入的情况下，不同算法的性能下降的厉害，因此仅仅写出一个可以工作的程序是远远不够的。话说的很犀利，这几乎就是我以前的观念，我想想了想，有这么几个原因：第一个就是自己接触到的问题输入量还不够大，因此算法的效率就不是那么明显，二是现在的计算机性能都非常的好，速度快到你还没意识到算法之间时间运行上的差异，它就结束了。
所以，现实给我们提出的挑战就是：寻找一个性能优异，而且相当稳定，面临大量输入，依旧可以从容不迫地输出，而不至于崩溃的算法。
书的第二章举了几个例子，怎么说呢，不寒而栗吧，待会会说到。
还讲了一些数学的概念，都是级数相关的，个人认为比较重要的一个方法就是：数学归纳法。一个结论也许看起来很自然，但是证明起来难度却很大，数学归纳法包含了“递归”的思想，充分利用已有的信息，逐步的接近一个结论，用起来往往不是很难，毕竟从k到k+1之间的规律还是很好找的。有时有些问题从正面很难突破，借用数学归纳法，借力打力，得出结论。
下面说递归。一个函数，用自己来定义自己，就是递归。递归是一种非常直白的思路，很符合人类思维的模式，用来解决一些看起来很复杂的问题有奇效，递归并不是循环，尽管它们看起来相似，如果往我来形容它们之间的差距，我会说：循环里的计算是等阶的，而递归是降阶的。递归就是把一个复杂的问题分解，一步步分解到一个简单的单元上，然后往回推，一步步就把原始的问题解决了。
书里总结了几个关于递归的规律：
1、基准情形，无需递归就能接触的，也就是最小的那个单元
2、不断推进，每一次递归调用都必须使求解状况朝接近基准情形的方向推进，也就是降阶
3、设计法则，假设所有的递归调用都能运行，递归如果中断，不仅无法分解到基准，而且无法由基准情形回推
4、合成效益法则，也就是避免重复性的工作，这点很重要，这提示我们，递归好用，但并不适合所有的情况
书的第二章开始着手具体的算法分析。算法是求解一个问题需要遵循的、被清楚地指定的简单指令的集合。计算机的思维模式和人不一样，我感觉算法就是是计算机的伟大之处，要知道，CPU上的那一个个的小开关，它们只会开和关，但一群开关提供的计算量却是惊人的。你只要给它一个清晰地、每一步都很简单的步骤，它就能给出答案。伟大！
这一章的前半段讲的非常晦涩，说到底，还是大O分析，就是评估算法运行时间的最坏情况。为什么考虑最坏的情况？仔细想想，这种考虑不仅非常的巧妙，而且很实用。一来呢，平均情况不好把握，影响因素比较多，所以呢，干脆把变量的影响降到最低，直接假设为最坏状况吧，算出来的时间应该是算法运行所需要的最长时间，有了这个数，我们心里就有底了。有的时候我么需要这种极限的思维，因为极限的背后，往往有着比较简单的结论，而这些结论通常都是本质性的。
常见的算法时间复杂度由小到大依次为：Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜…＜Ο(2n)＜Ο(n!)
这个时候书里举出了一个反例，是用递归算法计算斐波那契数列。如下：
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int Fib(int N){ if(N<=1){ return 1; } else{ return Fib(n-1)+Fib(n-2); } } |
起初我看到这里觉得这个算法还相当合理，逻辑也很清楚。但作者给出了它的大O分析，时间复杂度是指数级的，这样的算法是我们需要极力避免的。问题出在哪里？大量的重复计算。有个格言说得好“计算任何事情不要超过一次”。斐波那契有个非常明显的规律，就是前两位数字相加等于第三位数，依次递推，每一个位置的数字其实都已经包括了前面数字的信息，但是上述的递归算法却将每一位数都分解为最原始的最小单元，无疑浪费了很多的信息，也没用充分利用斐波那契的规律。尽管代码很短，却并非我们需要的。
书里又给出了一个非常经典的问题：最大子序列和的解。
书里给出了四种解法，时间复杂度一次从Ο(n3)> Ο(n2)>O(nlog2n)>O(n)
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//第一种 int MaxSubsequence1(const int A[], int N){ int Thissum, Maxsum=0; int i, j, k; for(i=0; i<N; i++){ for(j=i; j<N; j++){ Thissum = 0; for(k=i; k<=j; k++){ Thissum += A[k]; } if(Thissum>Maxsum){ Maxsum = Thissum; } } } return Maxsum; } //第二种 int MaxSubsequence2(const int A[], int N){ int Thissum, Maxsum=0; int i, j; for(i=0; i<N; i++){ Thissum = A[i]; for(j=i+1; j<N; j++){ if(Thissum>Maxsum){ Maxsum = Thissum; } Thissum += A[j]; } } return Maxsum; } //第三种 int Max3(int a, int b, int c){ int max; if(a>b){ if(a>c){ max=a; } else{ max=c; } } else{ if(b>c){ max=b; } else{ max=c; } } return max; } int MaxSubsum(const int A[], int left, int right){ int MaxLeftSum=0, MaxRightSum=0; int center, i; if(left==right){ if(A[left]<0){ return 0; } else{ return A[left]; } } center = (right+left)/2; MaxLeftSum = MaxSubsum(A, left, center); MaxRightSum = MaxSubsum(A, center+1, right); int MaxLeftBorderSum=0, MaxRightBorderSum=0; int LeftBorderSum=0, RightBorderSum=0; for(i=center; i>=left; i--){ LeftBorderSum += A[i]; if(LeftBorderSum>MaxLeftBorderSum){ MaxLeftBorderSum = LeftBorderSum; } } for(i=center+1; i<=right; i++){ RightBorderSum += A[i]; if(RightBorderSum>MaxRightBorderSum){ MaxRightBorderSum = RightBorderSum; } } return Max3(MaxLeftSum, MaxRightSum, MaxLeftBorderSum+MaxRightBorderSum); } int MaxSubsequence3(const int A[], int N){ return MaxSubsum(A, 0, N-1); } //第四种 int MaxSubsequence4(const int A[], int N){ int Thissum=0, Maxsum=0; int i; for(i=0; i<N; i++){ Thissum += A[i]; if(Thissum>Maxsum){ Maxsum=Thissum; } else if(Thissum<0){ Thissum = 0; } } return Maxsum; } |
第三种算法用到了“分治”的策略，递归的求解，将大问题分而化之，再通过一些少量的计算将二者结合，非常巧妙地思想，极大的降低了时间复杂度。
而第四种无疑更为奇妙了，完全就是线性的复杂度，也称作“联机算法”。
经典的算法：对分查找，用到了二分的思想，也是分而化之，比较常见，不多说。
欧几里得算法求解两数的最大公约数，也是经典算法了。
书的练习题里，有一个关于最大子序列乘积的问题，很有意思。网上查了，才知道叫“动态规划”。
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int MaxSeqMul(int A[]){ int max, min, tempMax, tempMin, temp, i; tempMax = tempMin = temp = A[0]; for(i=1; i<M; i++){ max=Max(A[i], tempMin*A[i], tempMax*A[i]); min = Min(A[i], tempMin*A[i], tempMax*A[i]); tempMax = max; tempMin = min; temp = Max(temp, max, 0); } return temp; } |
也是线性的时间。
总结：其实看了这么多例子，感受应该说很深刻了。以前没有这个意识，觉得算法能写出来就算不错了，何曾想过这之间的效率差异这么大，也深深的佩服想出这些算法的先驱前辈，何等的智慧。这本书写的非常详实，由浅入深，有些例子虽然看懂了，还要静下心来慢慢的消化，书看来还是应该多读，否则井底之蛙，以为世界只有自己的眼光这么大。