图论 最短路 基础

图论基础 ， 最短路

图的简单概念

顶点 （Vertex）， 边 （Edge）

有向图 ， 无向图 ， 无向图是一种特殊的有向图

度，有向图分为出度 和 入度，无向图的度，代表 连出去的边

顶点和边都可以具有属性，称为权重，顶点称为 点权，边 称为 边权

稠密图 边很多，大约是 顶点的平方

**稀疏图 ** 边很少 ，

重边（平行边），自环，

路径：从一给顶点到达另一个顶点称为一条路径

路径中边的数量称为路径长度，如果路径中的顶点均不重复，称为简单路径

如果路径中的第一个顶点 (v_i) 和最后一个顶点 (v_j) 是同一个顶点，则称这条路径为回路

连通 ： 两个点连通，指 u 和 v 相互可达

图连通 ：无向图 任意两个节点 相互可达 ，

强连通 ： 有向图 任意 两个节点 相互可达

图的存储结构：

• 邻接矩阵 （二维数组） 对于 n 个顶点，需要 (O(n^2)) 空间

  • 严重浪费空间，适用于 稠密图 ， 或者是 ，题目的输入 已矩阵的方式给出

  • G[N] [N]

    #include <iostream>
    #include <cstring>
    using namespace std;
    const int N = 1e3 + 233,INF = 0x3f3f3f3f; //INF 最大值
    int g[N][N];
    int main(){
        int n,m,x,y,w;
        memset(g,0x3f,sizeof g); // 初始化图，全都不联通
        cin >> n >> m;
        while(m--){
            cin >> x >> y >> w;
            g[x][y] = w; // 单向边，x to y ，权重 为 w
            g[y][x] = w; // 两条都写，等于双向边， 图中都为双向边，就成无向图了。
        }
        for(int i = 1;i <= n; ++i){
            for(int j = 1;j <= n; ++j){
                cout << g[i][j] <<" ";
            }
            cout << endl;
        }
        return 0;
    }
    

• 邻接表

  对图中的每个顶点都建立一个单链表，存储这个顶点的连出的点

  • vector Adj[N];

  • vector 自身底层函数的缺陷， 每次扩大空间，都会copy一边，然后扩大原来空间的两倍

  • vector G[]：
    优点：
    1.写起来比链式前向星快（大概
    2.每个顶点的出边都是用vector存储的，方便执行一些STL中的函数（比如排序）
    缺点
    1.STL会略慢一些
    2.浪费空间，由于vector申请空间的方式是两倍扩容，遇到卡空间的题目的时候会跪

    #include <iostream>
    #include <cstring>
    #include <vector>
    using namespace std;
    const int N = 1e3 + 233,INF = 0x3f3f3f3f;
    struct edge
    {
        int node ,weight;
        edge(int node_,int weight_)://构造函数，让我们可以直接给结构体赋值
            node(node_),weight(weight_){}
    };
    vector<edge> v[N];
    int n,m;
    int main()
    {
        cin >> n >> m;
      while(m--)
        {
            int x,y,w;
            cin >> x >> y >> w;
            v[x].push_back(edge(y,w));//模拟链表，存边
            //v[y].push_back(edge(x,w));//双向
        }
        for(int i = 1;i <= n; ++i){
            for(int j = 0;j < v[i].size(); ++j){
                cout << i << " " << v[i][j].node <<" " << v[i][j].weight <<"  ";
            }
            cout << endl;
        }
        return 0;
    }
    

• 链式前向星 （数组模拟邻接表）

  • 先学会数组模拟链表，就会数组模拟邻接表了
  • 避免了copy时间的浪费，非常快速
  • 主要使用这种存图结构

  前置知识，数组模拟链表(头插法)

  #include <iostream>
  #include <cstring>
  #include <vector>
  using namespace std;
  const int N = 1e3 + 233,INF = 0x3f3f3f3f;
  int e[N],ne[N],h,idx; 
  // head 表示头结点的下标
  // e[i] 表示节点i的值
  // ne[i] 表示节点i的next指针是多少
  // idx 存储当前已经用到了哪个点
  void init(){ // 初始化为头节点 为 -1
      h = -1,idx = 0;
  }
  void add(int x){
      e[idx] = x;// 保存x的值 到 idx 这个指针的位置
      ne[idx] = h;// idx 的下一个指针 为 头节点
      h = idx++; // 头节点 = idx 指针  ， idx ++
  }
  int main(){
      int n ,x;
      cin >> n;
      init();
      while(n--){
          cin >> x;
          add(x);
      }
      for(int i = h;i != -1; i = ne[i]){
          cout << e[i] << " ";
      }
      return 0;
  }
  

  #include <iostream>
  #include <cstring>
  #include <vector>
  using namespace std;
  const int N = 1e3 + 233,INF = 0x3f3f3f3f;
  int e[N],ne[N],h[N],w[N],idx;//数组模拟邻接表， h代表 n个头节点
  // e存每条边，ne指向下一条边，h是链表头，w是每个顶点的权重，idx是索引值
  void add(int a,int b,int c){// 采用头插法
      e[idx] = b;
      ne[idx] = h[a];
      w[b] = c;
      h[a] = idx++;
  }
  int n,m;
  int main()
  {
      memset(h,-1,sizeof h);//初始化头节点，全为-1
      int a,b,c;
      cin>>n>>m;
      while(m--)
      {
          cin >> a >> b >> c;
          add(a,b,c); // 单向边
          //add(b,a,c) 双向
      }
      for(int i = 0;i < n; ++i){
          for(int j = h[i];j != -1;j = ne[j]){
              int v = e[j];
              cout << i <<" " <<v<<" "<<w[v]<<" ";
          }
          cout << endl;
      }
      return 0;
  }
  

图的遍历

DFS （求连通块），求欧拉回路 与 哈密顿回路

例题 ： https://vjudge.net/problem/UVA-572

• 用 dfs 朝 八个方向 搜 ，每找到一个 ，做一次标记，最后输出连通块的数目

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 233;
char g[N][N];
int n,m,ans;
int dx[8] = {0, 0,1,1, 1,-1,-1,-1}; // 方向数组 
int dy[8] = {1,-1,0,1,-1, 0, 1,-1};
bool pd(int x,int y){ // 判断是否越界
    if(x >= 1 && x <= m && y >= 1 && y <= n) return 1;
    else return 0;
}
void dfs(int x,int y){ // dfs求连通块
    for(int i = 0;i < 8; ++i){
        int nx = x + dx[i];
        int ny = y + dy[i];
        if(pd(nx,ny) && g[nx][ny] == '@'){
            g[nx][ny] = '*';
            dfs(nx,ny);
        }
    }
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    while(cin >> m >> n){
        if(m == 0 && n == 0) break;
        memset(g,0,sizeof g);
        ans = 0;
        for(int i = 1;i <= m; ++i){
            for(int j = 1;j <= n; ++j)
                cin >> g[i][j];
        }
        for(int i = 1;i <= m; ++i){
            for(int j = 1;j <= n; ++j){
                if(g[i][j] == '@'){
                    ans++; // 连通块个数++
                    g[i][j] = '*';
                    dfs(i,j);
                }
            }
        }
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}

BFS （边权为 1 的最短路算法 ，队列实现 ）

例题 ： https://vjudge.net/problem/OpenJ_Bailian-3752

• 用队列 扩展 ，如果找到 出口，直接跳出即可

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;
const int N = 50;
char g[N][N];
int r,c,ans;
int dx[4] = {0,0,1,-1};
int dy[4] = {1,-1,0,0};
bool vis[N][N]; // 判断是否访问过 点
struct Ponit{
    int x,y,t; // x,y 坐标， t 代表当前的步数
    Ponit(int x,int y,int t):x(x),y(y),t(t){} // 构造函数
};
bool pd(int x,int y){
    if(x >= 1 && x <= r && y >= 1 && y <= c) return 1;
    else return 0;
}
void bfs(){
    queue<Ponit> q;
    q.push({1,1,1}); // 初始化 队列
    vis[1][1] = 1;
    while(q.size()){
        Ponit t = q.front();
        q.pop();
        for(int i = 0;i < 4; ++i){
            int nx = t.x + dx[i];
            int ny = t.y + dy[i];
            if(nx == r && ny == c) {
                ans = t.t + 1;
                return ;
            }
            if(pd(nx,ny) && g[nx][ny] == '.' && !vis[nx][ny]){
                vis[nx][ny] = 1;
                q.push({nx,ny,t.t + 1});
            }
        }
    }
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin >> r >> c;
    for(int i = 1;i <= r; ++i){
        for(int j = 1;j <= c; ++j)
            cin >> g[i][j];
    }
    bfs();
    cout << ans;


    return 0;
}

最短路径算法

由BFS启发 得到的最短路算法

因为，BFS采用的是队列的思想，因此，可以想出一种基于队列的算法来处理，边权为任意值的算法

单源最短路

Dijkstra O(n^2) 只能处理正权边

算法主要特点：以起点为核心，逐层向外扩展，每次都会取一个最近点继续扩展，直到取完所有点为止。

算法步骤：

初始化距离 dist[1] = 0, dist[i] = +INF，从起点开始。

循环迭代 n 次，

集合 s 代表，已经确定最短路的点

for i 0 ~ n { // 每次循环，可以确定一个 点的距离，n次 ，确定n个点

​ 在dist 中 找到不在 s 中的距离源点最近的点 ， 设为 t // 基于贪心实现

​ 把 t 加到 s里面去

​ 用 t 来更新 ，其他所有点的距离 （ 更新 t 的出边 ） dist [x] > dist[t] + w;

}

例题 ：

HDU 2544

acwing 849. Dijkstra求最短路 I

习题推荐：

HDU 1874，2066，2112，2680，

POJ 1797

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 510;
int g[N][N],n,m,dist[N];
bool st[N];
// dist[i] 代表 1 到 i的最短路
int dijkstra(){
    memset(dist,0x3f,sizeof dist);
    dist[1] = 0;
    // 循环 n 次，每次确定一个最短路的值
    for(int i = 0;i < n; ++i){
        int t = -1;
        // 在所有 st 为 false的点中，找到 dist最小的点
        for(int j = 1;j <= n; ++j){
            if(!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j])){
                t = j;
            }
        }
        st[t] = 1;
        for(int j = 1;j <= n; ++j){
            dist[j] = min(dist[j],dist[t] + g[t][j]); 
            // dist[t] + g[t][j] 表示， 1 - t的最短路 加上 t 到 j的距离，
            // 等价于 1 - j 的距离
        }
    }
    if(dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
    else return dist[n];

}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin >> n >> m;
    memset(g,0x3f,sizeof g);
    while(m--){
        int a,b,c;
        cin >> a >> b >> c;
        g[a][b] = min(g[a][b],c); // a 和 b之间可能有重边，取最小的边为权值
    }

    cout << dijkstra();


    return 0;
}

堆优化dij

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> PII;
const int N = 1e4 + 10,M = 5e5 + 10;
const int INF = 2147483647;
int h[N],e[M],ne[M],w[M],dist[N],idx;
int n,m;
bool st[N];
inline void add(int a,int b,int c){
	e[idx] = b,w[idx] = c,ne[idx] = h[a],h[a] = idx++;
}
void dij(int s){
	for(int i = 1;i <= n; ++i) dist[i] = INF;
	dist[s] = 0;
	priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII> > q;
	q.push(make_pair(0,s));
	while(q.size()){
		auto ver = q.top().second,distance = q.top().first;
		q.pop();
		if(st[ver]) continue;
		st[ver] = 1;
		for(int i = h[ver];i != -1; i = ne[i]){
			int j = e[i];
			if(dist[j] > dist[ver] + w[i]){
				dist[j] = dist[ver] + w[i];
				q.push(make_pair(dist[j],j));
			}
		}
	}

}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	int s,a,b,c;
	memset(h,-1,sizeof h);
	cin >> n >> m >> s;
	for(int i = 0;i < m; ++i){
		cin >> a >> b >> c;
		add(a,b,c);
	}
	dij(s);
	for(int i = 1;i <= n; ++i) cout << dist[i] <<' ';
	return 0;
}

Bell-Ford O(ne) 可以处理负权边，不能处理负权回路，负权回路没有最短路

// 只能存边

算法步骤：

进行n-1次松弛操作

每次循环 m 次 ，更新每条边的距离

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 23;
int dist[510],st[510];
int n , m;
struct edge{
    int from,to,w;
}e[N];
void bf(){
    memset(dist,0x3f,sizeof dist);
    dist[1] = 0;
    for(int i = 0;i < n-1; ++i){
        for(int j = 0;j < m; ++j){
            int a = e[i].from,b = e[i].to, t = e[i].w;
            dist[b] = min(dist[b],dist[a] + t);
        }
    }
}
int main(){
    cin >> n >> m;
    for(int i = 0;i < m; ++i){
        cin >> e[i].from >> e[i].to >> e[i].w;
    }
    bf();
    for(int i = 1;i <= n; ++i){
        cout << dist[i] <<" ";
    }
    return 0;;
}

SPFA （队列优化版本的 Bell-Ford） 可以判断负环，容易被网格图卡，

dist[b] = min(dist[b],dist[a] + t);  // 优化 dist a

while(队列不空 )  , {
 	取出队头  t
    删除队头
    删掉队头的标记
    更新遍历  t 的所有出边 {
        更新每个点的距离，如果更新成功，并且当前的点没有入队，
            那么就加入队列
        	一个点只能入队一次，不能多次入队。
    }
    
}

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 23;
int dist[510],st[510];
int e[N],ne[N],w[N],h[N],idx,n,m;
int a, b,c;
void add(int a,int b,int c){
    e[idx] = b;
    w[idx] = c;
    ne[idx] = h[a];
    h[a] = idx++;
}
void spfa(){
    memset(dist,0x3f,sizeof dist);
    dist[1] = 0;
    st[1] = 1;
    queue<int> q; // 存所有变小了的节点
    q.push(1);
    while(q.size()){
        int t = q.front();
        q.pop();
        st[t] = 0;
        for(int i = h[t];i != -1; i = ne[i]){
            int j = e[i];
            if(dist[j] > dist[t] + w[i]){
                
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                //cnt[j] = cnt[t] + 1;  判断负环
                //if (cnt[j] >= n) return true;  直接跳出
                if(st[j] == 0){
                    st[j] = 1;
                    q.push(j);
                }
            }
        }
    }

}
int main(){
    cin >> n >> m;
    memset(h,-1,sizeof h);
    for(int i = 0;i < m; ++i){
        cin >> a >> b >> c;
        add(a,b,c);
    }
    spfa();
    for(int i = 1;i <= n; ++i){
        cout << dist[i] <<" ";
    }
    return 0;;
}

spfa https://blog.csdn.net/u011644423/article/details/38345631

​ https://skywt.cn/posts/spfasummary/

POJ 1511，3259

多源汇最短路 DP思想，暴力 ,只能用 邻接矩阵存图

Floyed O(n^3), 还可以用来判断，图中的两个点是否相连

void floyd(){
    for(int k = 1;k <= n; ++i){
        for(int i = 1;i <= n; ++i){
            for(int j = 1;j <= n; ++j){
                g[i][j] = min(g[i][j],g[i][k] + g[k][j]);
            }
        }
    }
}

习题推荐：

HDU 1869，3665，1596，1734

POJ 1125

最短路的应用 ： 差分约束系统（不等式求解）

习题：

kuangbin最短路专题 ，https://vjudge.net/contest/324762

推荐阅读：

• 洛谷日报 ：

https://www.luogu.org/blog/wym483739/xue-tu-lun-ni-zhen-di-liao-xie-zui-duan-lu-ma-post

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https://www.luogu.org/blog/little-sun/dijkstra dij详解

https://www.luogu.org/blog/encore/io-you-hua-nei-suo-shi oi 优化

https://oi-wiki.org/graph oi-wiki-图论专题