复级数

第4章 级数

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4.1 复数项级数与复变函数级数

4.1.1复数序列与复数项级数

定义：设({z_n})是一个复数序列，又设(z_0 = a+ib)为一复常数。如果对于任意(varepsilon > 0)，存在正整数N，使得n>N时，总有(|z_n-z_0|<varepsilon)成立，则称复数序列以(z_0)为极限，或者复数序列收敛于(z_0)。如果不收敛，则称其为发散序列。

定理：设(z_n = a_n+ib_n,z_0 = a_0+ib_0)，则收敛的充要条件为

[lim_{n ightarrow infty}a_n=a_0,lim_{n ightarrowinfty}b_n = b_0 ]

定义：称

[z_1 + z_2 +cdots + z_n ag{4.3} ]

为复数项级数

记前面n项的和为(s_n = z_1 + z_2 + cdots + z_n)为级数式(4.3)的部分和。

若序列({s_m})没有极限，则称级数式(4.3)是发散的。

定理：级数式(4.3)收敛的必要条件是

[lim_{n ightarrow infty}z_n = 0 ]

定义：若级数(sum_{n=1}^{infty}|z_n|)收敛，则称级数(sum_{n=1}^{infty}z_n)绝对收敛。若级数(sum_{n=1}^{infty}z_n)收敛而不绝对收敛，则称它为条件收敛。若一个级数式绝对收敛，则其必然收敛。反之不一定。

定理：(sum_{n=1}^{infty}alpha_n)绝对收敛(Leftrightarrowsum_{n=1}^{infty}a_n)与(sum_{n=1}^{infty}b_n)绝对收敛

柯西收敛准则：级数式(4.3)收敛的充要条件为：任给(varepsilon>0)，存在正整数N，使当m,n>N时，恒有

[|z_m -z_n|<varepsilon ]

定理：收敛级数的通项必趋于零：(lim_{n ightarrowinfty}alpha_n=0)，其等价命题为：若(lim_{n ightarrowinfty}alpha_n e 0)或(lim_{n ightarrowinfty}alpha_n)不存在，则级数发散。说明收敛级数的各项必是有界的。

比式判别法

设(sum u_n)为正项级数，且存在某自然数(N_0)及常数q(0<q<1)

• 若对一切n > (N_0)，成立

  [frac{u_{n+1}}{u_n} le q ]

  则级数收敛

• 若对一切n > (N_0)，成立

  [frac{u_{n+1}}{u_n} ge 1 ]

  则级数发散

4.1.2 复函数项级数

定义：设复变函数项级数(f_1(z) + f_2(z) + cdots + f_n(z))的各项在点集E上均有定义，且在E上存在一个函数f(z)，对于E上的每一点z，级数式均收敛于f(z)，则称f(z)为级数式的和函数，记为：

[f(z) = sum_{n=1}^{infty}f_n(z) ]

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4.2 幂级数

定义：称形式为

[sum^{infty}_{n=0}C_n(z-a)^n = C_0 + C_1(z-a) +cdots + C_n(z-a)^n ]

的级数是中心在a的幂级数，称(C_n)为幂级数的系数。

阿贝尔定理：如果幂级数(sum^{infty}_{n=0}C_nz^n)在(z=z_0( e 0))收敛，那么当(|z| < |z_0|)时幂级数绝对收敛；如果在(z=z_1)处发散，那么当(|z| = |z_1|)时幂级数发散。

幂级数的收敛半径的求法

如果幂级数的系数(c_n)合于

• 比值法(lim_{n ightarrow infty}left|frac{c_{n+1}}{c_n} ight| = l)
• 根值法(lim_{n ightarrowinfty}sqrt[n]{|c_n|} = l)

则收敛半径为

[R = egin{cases}frac1l,(l e 0,l einfty)\0,(l=+infty)\+infty,(l=0)end{cases} ]

例题：把函数1/z表成形如(sum_{n=0}^{infty}c_n(z-2)^n)的幂级数。

提示：利用一个常见的泰勒展开

[frac1{1-z} = 1 + z + z^2 + cdots + z^n,|z|<1 ]

和函数的求法：

• 积分法：对级数式进行不定积分，可得一个更加容易求和函数的级数式，求得和函数后，再进行求导可得原和函数。

  如(sum_{n=0}^{infty}(n+1)z^n)的和函数

• 构造新和函数法：当系数(c_n)与(z_n)的次数一致时，可以将系数包含进(z_n)构造一个新的级数式来求和函数。

  如：(sum_{n=0}^{infty}2^nz^{n-1} = 2sum_{n=0}^{infty}(2z)^{n-1})

复变幂级数在收敛圆内部的性质

• 幂级数的和(f(z) = sum_{n=0}^{infty}c_n(z-a)^n)在收敛圆的内部是一个解析函数
• 在收敛圆的内部，幂级数的和可以逐项求导及逐项积分任意次