Haar小波分析

一 尺度函数与小波函数

    基本尺度函数定义为：，对其向右平移任意 k 个单位，构成函数族 ， 该函数族在 空间中正交，证明如下：

   1 ；

   2 当 m 不等于 k 时，

   函数族  构成一组正交基，并形成  子空间。在  子空间中，任意函数均可表示为  的线性组合，。

   将函数族  构造宽度缩小一半，则可形成宽度为  的一组正交基，，同样，该函数族在 空间中正交，并形成  子空间。在  子空间中，任意函数均可表示为  的线性组合，。

   通过以上举例可得：设 j 为非负整数，j 级函数子空间可表示为 ，其对应正交基包括：

    ，观察  中  可有  中  线性组合（ 中任意函数均可用 中函数线性组合表达），则  为  得子空间。各个子空间之间存在如下关系： 。

   使用不同子空间  中尺度函数得线性组合，可以阶梯近似任意连续函数。在噪声滤除应用中，需要提取一些属于 （高频信息）但不属于 （低频信息）的方法，小波函数即描述了这部分信息，也即小波函数描述 相对于  的正交补空间。根据以上描述，小波函数应该满足一些特性：

   1 小波函数仍然位于  空间中，则他应该是  空间基函数的线性组合；

   2 小波函数位于  子空间中，则它应于  正交。

    空间的基本小波函数表示为：，该函数位于 空间，且与  正交。同样对小波函数向右平移 k 个单位，构成函数族：

   ，该函数族在 空间中正交。

    空间的基本小波函数表示为：，该函数族在 空间中正交。

   使用尺度函数与小波函数，可以将  空间中函数进行分解：，其中  为  空间中的小波函数，继续以上分解，可得：

   

二 Haar分解

    1 将函数离散化为 ，该函数位于  空间中；

    2 由于 ，可以将  空间中该函数分解为 （更平滑尺度函数） 与 （小波函数），根据尺度函数与小波函数定义，有如下关系：

       （根据图形可验证结论正确），进一步有：

      ；

   3 观察到  分解方式不一致，需要将原函数改写为：；

   4 对改写后的  分别使用更平滑尺度函数与对应小波函数再次改写，有：

     ，整理得：

    ；

   5 令 ，继续分解直到 ，可得：

      ，其中， 为相应的小波分量。

三 Haar重构

    1 函数被分解为 ， 其中，；

    2 （根据图形可验证结论正确），进一步有：

     

   3 重构为 ；

   4  重构为 ；

   5 ， 其中，  由  组合；

   6 继续重构  与 ，直到重构 。

  参考资料 小波与傅里叶分析基础 Albert Boggess & Francis J. Narcowich