1 
，c 为常数；
2 
，n 为任意有理数，证明如下：
1）当 n 为正整数时，
，
使用二项定理 
，
；
2）当 n 为负整数时，令 m = -n, 则 m 为正整数，
，
使用求导除法规则 
，
;
3）当 n 为零时，自然满足公式；
4）当 n 为有理数时，
，等式可改写为 
，利用隐函数求导有：
，
整理得：
;
3 
，c 为常数；
4 
，u,v 为不同函数；
5 
，证明如下：
，
；
6 
，证明如下：
， 
；
7 复合函数 
，
，证明如下：
，对其求极限得：
，
由于 
为连续函数，根据连续性得：当 
时，
，
可得 
；
8 三角函数求导
1）在半径为 1 的单位圆周上任意点 (x,y) 对应的基本三角函数有：
，
；
2）当 
以弧度计量时，
，证明如下：
a. 在单位圆中， 
，
为该角度对应的弧长，当 
趋近无穷小时，两者相等，等式 
成立；
b. 
，
；
3）
，
；
4）使用相似方法可证明 
；
5）利用复合求导规则，可以推导出其他基本三角函数导数，如下：
；
9 反三角函数求导
1）对反三角函数 
求导等价于对 
求导，
应用隐函数求导规则有 
，
，
由 
得 
，
由于 在定义域内为单调递增函数，故 
；
2）
等价于 
，
，
，
由于 在定义域内单调递减，故 
；
3）
等价于 
，
；
4）
，
，
由于 在定义域内单调递增，
；
5）
, 
；
6）
，
，
由于 在定义域内单调递减，
；
10 指数与对数函数求导
1）指数基本运算法则是显然的，包括：
；
2）对数基本运算法则需要一些推导，包括：
. 
，由于指数与对数互为反函数关系，该结论是显然的；
. 
，通过关系式 
可推导结论；
.
，通过关系式 
可推导结论；
.
，通过关系式 
可推导结论；
.
，欲证明该等式成立，可转换为证明 
是否成立，
两边取对数 
可证明等式成立；
3）极限 
存在？
通过对对数函数求导运算，可证明极限 
为一个有限实数，具体如下：
，
当 x = 0 时有 
，观察图形在该点出导数为有限实数，则极限 
为有限实数，
令 
，等式可变换为 
，
令 
，上式可改写为 
,
最终得到 
，则极限 存在。
4）求导 
？
,
令 
，有 
，
现在设 
，当对数底为 
时，对数求导结果最为简化，
，得到任意底对数函数导数；
当对数函数底为 时，有 
。
5）指数函数 
求导
将指数函数改写为对数函数 
，
利用隐函数求导规则有 
，
，
；
当指数函数为 
时，
。
参考资料 Calculus With Analytic Geometry George F. Simmons
The Calculus Lifesaver Adrian Banner