1 高斯函数积分在无穷区间上积分为1
高斯函数 在无穷区间上积分为 ,
为了简便,可先求函数 的积分,证明如下:
令 ,则 ,
整理得 ,
令 ,使用极坐标变换得 ,
先对 积分,令 ,则 ,
替换变量得
将 T 带入 得 ,
因此 。
对高斯函数积分表示为 ,
令 ,,
使用 y 替换 x 得 ,
由于 ,因此上式值为 1,结论得证。
2 高斯函数的傅里叶变换仍为高斯函数
令 ,其傅里叶变换为 ,
令 ,带入上式得 ,
将指数部分配方成变量 x 的完全平方和,就可以得到类似 的结构,
,
令 ,,带入上式得 ,
由于 ,有 ,
令 ,有 ,
由于高斯函数 的系数为常数,积分后保持不变,
因此有 ,其傅里叶变换仍为高斯函数。