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  • 高斯函数

    1 高斯函数积分在无穷区间上积分为1

        高斯函数  在无穷区间上积分为 

        为了简便,可先求函数  的积分,证明如下:

        令 ,则 

        整理得 

        令 ,使用极坐标变换得 

        先对 积分,令 ,则 

        替换变量得 

        将 T 带入  得 

        因此 

        对高斯函数积分表示为  

        令 

        使用 y 替换 x 得 

        由于 ,因此上式值为 1,结论得证。

    2 高斯函数的傅里叶变换仍为高斯函数

        令 ,其傅里叶变换为 

        令 ,带入上式得  

        将指数部分配方成变量 x 的完全平方和,就可以得到类似  的结构,

        

        令 ,带入上式得 

        由于 ,有 

        令 ,有 

        由于高斯函数  的系数为常数,积分后保持不变,

        因此有 ,其傅里叶变换仍为高斯函数。

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