霍夫变换

一 霍夫直线变换

1 点斜式

直线方程可表示为：y = kx + b， 当k, b确定时，在xy平面上确定一条唯一直线；考虑同样的变形 b = -xk + y，当x, y确定时，可以看做在kb平面上确定的一条唯一直线；若x, y表示xy平面上一个已知坐标点，则经过该坐标点(x, y)可形成多条直线， 其表达式为：b = -xk + y。

考虑在平面图像上存在一条有效直线段，遍历图像上每一个点，并计算出每个点可能形成的直线参数；发现某个特定参数(k, b)出现次数最多，这个特定参数应该为图像上有效直线段的参数(k, b)。

通过以上观察，可以将参数(k, b)离散化，然后遍历平面图像上的每一个点，累加可能形成直线(k, b)参数；当遍历完整个图像后，在累加器(k, b)中会产生一个全局最大值，该值为平面图像上有效直线的参数(k, b)。

当平面图像上存在多条有效直线段时，在累加器(k, b)中会产生多个局部极大值，可以通过设定合理的阈值以检测出平面图像上的多条直线段。

2 极坐标

使用点斜式检测直线存在两个问题：

 1）y = kx + b 无法表达平行于y轴的直线段（k为无穷大）；

 2）k, b取值都趋近于无穷大，离散化(k, b)后参数空间趋近无穷大，计算机存储空间有限；

 通过坐标转换，将直角坐标转换为极坐标可以解决以上问题。

 根据图形可得：ab = 0 (向量a与向量b正交）

=>， 其中(x, y)为直线L上的任意点；

=>， 其中(x, y)为直线L上的任意点；

考虑在平面图像上存在一条有效直线段，离散化参数，然后遍历平面图像上每一个点，累加可能形成的直线参数；类似的，在平面上会产生一个全局最大值，该值即为平面图像上的有效直线参数；同理，针对平面图像上存在多条有效直线段情况，可以通过局部极大值检测多条有效直线段。

二 霍夫圆变换

 圆的方程式可表达为：，参数确定一个圆；

 离散化参数，遍历平面图像上每一个点，累加可能形成的圆参数， 在参数空间中寻找全局最大值或局部极大值以检测有效圆；

 圆的方程也可表达为：，，参数确定一个圆；

 固定，遍历平面图像上每一个点，根据公式，累加  参数空间，在参数空间寻找全局最大值或局部极大值以检测半径为的有效圆；

 多次遍历平面图像，并选择不同的半径可以检测平面图像上任意半径的圆。

 三 霍夫变换检测椭圆

平面上任意一个椭圆均可以看做单位圆经过缩放，旋转，平移操作形成，设在单位圆上的坐标点，经过缩放，旋转，平移变换的表达式为：

，其中单位圆表达式为：，

=>，，

表达式构成参数空间，离散化该参数空间， 遍历平面图像上每一个点，累加可能形成椭圆的参数，在参数空间中寻找全局最大值或局部极大值检测椭圆。

四 广义霍夫变换

  对于非解析图形，可以使用广义霍夫变换(Generalized Hough Transform)寻找目标中心位置，具体思路如下：

  1）对已知形状，首先选择参考点（一般为图形重心点）；

  2）计算图形边缘点上的梯度方向，将边缘方向离散化为：

  3）将边缘点与参考点之间的关系表示为： ，或等效表示为： ，如下图：

      

    4）将边缘点所在边缘方向离散化，并根据离散化后边缘方向索引填充R-table，如下图：

     

     5）如果被检测图形没有旋转与缩放，可以直接使用上表在  空间上寻找最值点。但一般情况下，被检测图形总会存在旋转与缩放，故需要对R-table进行更多处理，具体如下：

          考虑对  所表示的线段做任意旋转与缩放有：，其中  为旋转角度，s 为缩放比例；

          边缘点（上）旋转缩放后的中心点为： ；

          另外，当图形旋转  后，原边缘点（上）的边缘方向也旋转  ，故需要在  行上增加相应的  值；遍历所有旋转及缩放，填充R-table表以实现旋转缩放收缩。

    6）在新图像中搜索边缘点，并根据边缘方向查找R-table表，对表中每一个  项应用公式：，得到  位置；

    7）在  中寻找极大值作为检测到图形中心。