杭电1712 分组背包

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1712

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <set>
#include <map>
#include <vector>
using namespace std;

int max(int a, int b)
{
    return a > b ? a : b;
}
int main()
{
    int n, m, i, j, k, a[110][110], dp[110];
    while(~scanf("%d %d", &n, &m))
    {
        if(n == 0 && m == 0)
            break;
        for(i = 1; i <= n; i++)
            for(j = 1; j <= m; j++)
                scanf("%d", &a[i][j]);
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        for(i = 1; i <= n; i++)
        {
            for(j = m; j > 0; j--)//一定要从大到小
            {
                for(k = 0; k < j; k++)
                    dp[j] = max(dp[j], dp[k] + a[i][j - k]);
            }
        }
        printf("%d
", dp[m]);
    }
    return 0;
}

问题

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。这些物品被划分为若干组，每组中的物品互相冲突，最多选一件。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

算法

这个问题变成了每组物品有若干种策略：是选择本组的某一件，还是一件都不选。也就是说设f[k][v]表示前k组物品花费费用v能取得的最大权值，则有：

f[k][v]=max{f[k-1][v],f[k-1][v-c[i]]+w[i]|物品i属于组k}

使用一维数组的伪代码如下：

for 所有的组k
    for v=V..0
        for 所有的i属于组k
            f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}

注意这里的三层循环的顺序，甚至在本文的第一个beta版中我自己都写错了。“for v=V..0”这一层循环必须在“for 所有的i属于组k”之外。这样才能保证每一组内的物品最多只有一个会被添加到背包中。

另外，显然可以对每组内的物品应用P02中“一个简单有效的优化”。