hdu5863_dp+矩阵快速幂

题目链接：http://acm.split.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5863

题意：

题目大概说用k个不同的字母，有多少种方法构造出两个长度n最长公共子串长度为m的字符串。

 思路

n的规模达到了10亿，而且又是方案数，自然就想到构造矩阵用快速幂解决。

考虑用DP解决可以这么表示状态：

• dp[i][j]表示两个字符串前i个字符都构造好了 并且 它们后面的j个字符相同的方案数

状态的转移就是，末尾j个相同的可以转移到0个相同的也能转移到j+1个相同的（前提是j<m）。

而对于这个状态可以构造矩阵去转移，即一个(m+1)*(m+1)的矩阵，矩阵i行j列表示从末尾i个相同转移到末尾j个相同的方案数，而该矩阵的n次幂的第0行的和就是长度n的字符串末尾各个情况的方案数。
不过样表示状态最后求出来不是要求的，因为LCS小于m的也会包含于其中。那么减去小于m的方案数不就OK了！

• 即 至少包含m个相同公共子串的方案数 - 至少包含m-1个相同公共子串的方案数 = 恰好包含m个相同公共子串的方案数

于是，一样再构造一个m*m的矩阵求n次幂，就OK了。

f[i][j]表示构造好前i个，最后j个相同的方案数

f[i][j]=f[i-1][j-1]*k 【最后一位有k种方案相同】

f[i][0]=sigma(f[i-1][j])*k*(k-1) j=0~m 【倒数第二位相同最后一位不同有k*(k-1)种方案】

#include <algorithm>
#include <iostream>
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#include <cstdio>
#include <vector>
#include <ctime>
#include <queue>
#include <list>
#include <set>
#include <map>
using namespace std;
#define mod 1000000007
typedef long long LL;

struct Mat{
    int m[11][11];
    int len;
};
Mat mul(Mat a, Mat b){
    Mat m;
    memset(m.m, 0, sizeof(m.m));
    m.len=a.len;
    for(int i=0; i<=m.len; ++i){
        for(int j=0; j<=m.len; ++j){
            for(int k=0; k<=m.len; ++k){
                m.m[i][j]+=(LL)a.m[i][k]*b.m[k][j]%mod;
                m.m[i][j]%=mod;
            }
        }
    }
    return m;
}
int solve(int n, int m, int k)
{
    Mat res, base;
    memset(res.m, 0, sizeof(res.m));
    memset(base.m, 0, sizeof(base.m));
    res.len = m, base.len = m;
    for(int i = 0; i <= m; i++)
        res.m[i][i] = 1;
    for(int i = 0; i <= m; i++)
        base.m[i][0] = k * k - k;
    for(int i = 0; i < m; i++)
        base.m[i][i+1] = k;
    while(n)
    {
        if(n & 1)
            res = mul(res, base);
        base = mul(base, base);
        n >>= 1;
    }
    int ans = 0;
    for(int i = 0; i <= m ; i++){
        ans += res.m[0][i];
        ans %= mod;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int t,n,m,k;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
        int res = solve(n, m, k) - solve(n, m -1, k);
        res = (res + mod) % mod;
        printf("%d
", res);
    }
    return 0;
}