树上期望距离

设：

• (d[i])：节点 (i) 的度数
• (fa[i])：节点 (i) 的父亲

我们分为两个部分：儿子到父亲与父亲到儿子。

儿子到父亲

我们先设 (f[i]) 为 (i) 到 (fa[i]) 的期望移动步数。

显然，分为两种情况：

• 一步走到父亲

对于这种情况，只需要走一步即可到达父亲节点，而这种概率为 (frac{1}{d[i]}) ，长度则为 (1) 。那么贡献期望长度为 (frac {1}{d[i]})

• 先走到 (i) 的某个儿子，然后再走回来。

对于这种情况，贡献期望长度当然为：

(走到儿子的步数+儿子走到 (i) 的步数+ (i) 到父亲的步数)/ (d[i])

由于现在走到儿子已经是个钦定的事情，那么步数为 (1) ，而儿子走到 (i) 的步数则必定为 (f[son]) ，(i) 到父亲的步数则一定是 (f[i]) ，是不是看起来重复了 (f[i]) ，挺绕的 ？

那么易得 (f[i]=frac{1+sum (f[son]+f[i]+1)}{d[i]}) ，即是将两个情况的贡献加在一起。由于 (i) 的儿子数肯定为 (d[i]-1) 我们考虑化简这个式子，拆出 (sum) 中的 (1) 与 (f[i]) ：

[f[i]=frac{1+sum (f[son]+f[i]+1)}{d[i]}\ f[i]=frac{1+d[i]-1+(d[i]-1)*f[i]+sum f[son]}{d[i]}\ f[i]=frac{d[i]+sum f[son] +(d[i]-1)*f[i]}{d[i]} ]

接着我们将右边的 (f[i]) 拆下来移项至左边：

[f[i]=frac{d[i]+sum f[son]}{d[i]}+frac{(d[i]-1)*f[i]}{d[i]}\ frac{f[i]}{d[i]}=frac{d[i]+sum f[son]}{d[i]} ]

最后即可得到式子：

[f[i]=d[i]+sum f[son] ]

这个式子很好懂，但是能不能更加简单呢？

由这个式子，我们可以得到每个节点到父亲节点的期望距离。同时我们观察这个式子，它的意思是，当前节点的 (f) 值为所有儿子的 (f) 值之和加上它的度数。那么我们来思考一下：

我们是如何计算 (size) ，即子树大小的？是不是如下的式子：

[size[i]=1+sum size[son] ]

对于计算 (size) 的这个累加函数，我们可以理解为：每个节点的权值为 (1) ，子树内的权值和。当然，也可以理解为每个节点的大小为 (1) ，子树的大小。

那么我们再仔细端详这个式子：

[f[i]=d[i]+sum f[son] ]

我们是不是可以理解为：每个节点的权值为 (d[i]) ，子树内的权值之和？

那么这个式子就可以变为：

[f[i]=sum_{xin 子树} d[x] ]

但是还不够，我们继续化简这个式子，考虑一下对于每条边，它对 (d) 数组的贡献。

(d) 数组为"度数"，也就是当前点有多少条边。则我们可以理解为每条边会对两个点的度数有 (1) 的贡献。

那么子树内 (d[i]) 的和，我们就可以理解为计算边的贡献。由于子树内的边必定都连接着子树内的点，则每条边都为子树内的每个点的度数之和增加了 (2) 的贡献。而子树内的边数为 (size[i]-1) ，即每个节点向父亲都有且仅有一条边，那么子树内的边的贡献值和为：((size[i]-1)*2)

那么唯一的例外就只剩下了 (i) 到 (fa[i]) 的这条边，由于 (fa[i]) 并不在子树内，所以它只会对 (i) 产生 (1) 的贡献。那么这个点就不能计算 (2) 的贡献。则加上子树内的贡献，我们可以得到最后的式子：

[f[i]=(size[i]-1)*2 ]

也可以写成：

[f[i]=size[i]*2-1 ]

父亲到儿子

至于父亲到儿子的话其实挺简单的 (......) 我们考虑就用之前的方法计算，如果以儿子为根重新建树，那么父亲到儿子的期望距离则为 (size'[fa[i]]*2-1) 。

当然不能重新建树 = = 。我们考虑如何得到 (size'[fa[i]]) ，那么就很简单了，(fa[i]) 相对 (i) 的子树，其实就是 (i) 相对 (fa[i]) 的子树以外的所有点。

那么 (size'[fa[i]]=n-size[i]) ，则我们设 (g[i]) 为 (i) 的父亲到 (i) 的期望步数，那就有如下式子：

[g[i]=(n-size[i])*2-1 ]

距离计算

对于给定的 (u->v) 这样一条树上路径，我们可以拆成两条：

(u->lca) 与 (lca->v)

对于第一条路径，肯定是全程向上的，对于第二条路径，肯定是全程向下的。

那么长度肯定为：

[sum_{iin (u->lca)} f[i] +sum_{iin(lca->v)}g[i]-f[lca]-g[lca] ]

则我们可以使用树上前缀和记录每个点到根节点的 (f) 与 (g) 之和，接下来就能够利用前缀和快速求出 (sum) 的值了。