【BZOJ 2138】stone

Problem

Description

话说 (Nan) 在海边等人，预计还要等上 (M) 分钟。为了打发时间，他玩起了石子。

(Nan) 搬来了 (N) 堆石子，编号为 (1) 到 (N)，每堆包含 (A_i) 颗石子。

每 (1) 分钟，(Nan) 会在编号在 ([L_i, R_i]) 之间的石堆中挑出任意 (K_i) 颗扔向大海（好疼的玩法），如果 ([L_i, R_i]) 剩下石子不够 (K_i) 颗，则取尽量地多。为了保留扔石子的新鲜感，(Nan) 保证任意两个区间 ([L_i, R_i]) 和 ([L_j, R_j]) ，不会存在 (L_ile L_j & R_jle R_i) 的情况，即任意两段区间不存在包含关系。

可是，如果选择不当，可能无法扔出最多的石子，这时 (Nan) 就会不高兴了。所以他希望制定一个计划，他告诉你他 (m) 分钟打算扔的区间 ([L_i, R_i]) 以及 (K_i)。

现在他想你告诉他，在满足前 (i-1) 分钟都取到你回答的颗数的情况下，第 (i) 分钟最多能取多少个石子。

Input Format

第一行正整数 (N)，表示石子的堆数；

第二行正整数 (x,y,z,P)，((1le x,y,zle N, Ple500))

有等式 (A_i=[(i-x)^2+(i-y)^2+(i-z)^2] mod P)；

第三行正整数 (M) ，表示有 (M) 分钟；

第四行正整数 (K_1,K_2,x,y,z,P)，((x,y,zle1000,Ple10000))

有等式 (K_i=(x*K_{i-1}+y*K_{i-2}+z)mod P)。

接下来 (M) 行，每行两个正整数 (L_i,R_i)。

(Nle40000, Mle N, 1le L_ile R_ile N, A_ile500)

Output Format

有 (M) 行，第 (i) 行表示第 (i) 分钟最多能取多少石子。

Sample

Input

5
3 2 4 7
3
2 5 2 6 4 9
2 4
1 2
3 5

Output

2
5
5

Explanation

石子每堆个数分别为 (0,5,2,5,0)。

第 (1) 分钟，从第 (2) 到第 (4) 堆中选 (2) 个；

第 (2) 分钟，从第 (1) 到第 (2) 堆中选 (5) 个；

第 (3) 分钟，从第 (3) 到第 (5) 堆中选 (8) 个，但最多只能选 (5) 个。

Algorithm

线段树

Mentality

神奇题目。由于它要求的策略不针对整体，只需要局部最优，所以才有了解法。

设当前处理到了第 (p) 个区间。

设 (S_{i,j}) 为区间 ([i,j]) 里的石子数之和，设 (T_{i,j}) 为之前的，严格为 ([i,j]) 子区间的询问区间取的石子数之和。

则在任一时刻，对于任意区间 ([l,r]) 都应该有 (T_{l,r}le S_{l,r}) ，毕竟拿的石子数总不能多于存在的。

设 (s_i) 为 ([1,i]) 的石子数和，(Tl_i) 为之前的，左端点位于 ([1,i]) 的询问区间取的石子数之和，(Tr_i) 为之前的，右端点端点位于 ([1,i]) 的询问区间取的石子数之和。

则可以用它们写成不等式：

[T_{l,r}le S_{l,r}\ Tr_r-Tl_{l-1}le s_r-s_{l-1}\ s_{l-1}-Tl_{l-1}le s_r-Tr_r ]

设 (g_i = s_{i - 1} - Tl_{i - 1}, f_i = s_i - Tr_i) ，则必须有 (g_lle f_r) 。对于一个区间而言，最多能取 (S_{l,r} - T_{l,r}=f_r-g_l) 个石子。

考虑对于当前询问 (p) 而言，([L_p,R_p]) 的决策会影响到所有包含此区间的区间 (T) 值。为了满足 (forall T_{l,r}le S_{l,r}) ，则我们能选择的，最多的石子数应该是 (Min_{lin[1,L_p], rin [R_p, n]} S_{l,r} - T_{l,r}) ，然后和询问所需石子数 (K_p) 取 (Min)。

由于 (S_{l,r} - T_{l,r}) 可以写成 (f_r-g_l) 的形式，所以每个询问的答案就可以写成 (Min_{iin[R_p,n]}f_i - Max_{iin[1,L_p]}g_i) 。

用线段树维护即可。

Code

#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <complex>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <map>
#include <queue>
#include <set>
#include <vector>
using namespace std;
long long read() {
  long long x = 0, w = 1;
  char ch = getchar();
  while (!isdigit(ch)) w = ch == '-' ? -1 : 1, ch = getchar();
  while (isdigit(ch)) {
    x = (x << 3) + (x << 1) + ch - '0';
    ch = getchar();
  }
  return x * w;
}
#define ls (o << 1)
#define rs ((o << 1) + 1)
#define mid ((l + r) >> 1)
const int Max_n = 4e4 + 5;
int n, m, x, y, z, mod, Ans;
int s[Max_n];
int f[Max_n << 2], g[Max_n << 2], tagf[Max_n << 2], tagg[Max_n << 2];
int L, R, ans;
int ned[Max_n], ln, rn;
bool fl;
int sqr(int x) { return x * x; }
void pushup(int *f, int o) {
  if (!fl)
    f[o] = min(f[ls], f[rs]);
  else
    f[o] = max(f[ls], f[rs]);
}
void pushdown(int *f, int *t, int o) {
  t[ls] += t[o], f[ls] += t[o];
  t[rs] += t[o], f[rs] += t[o];
  t[o] = 0;
}
void build(int *f, int o, int l, int r) {
  if (l == r) {
    if (!fl)
      f[o] = s[l];
    else
      if (l) f[o] = s[l - 1];
    return;
  }
  build(f, ls, l, mid);
  build(f, rs, mid + 1, r);
  pushup(f, o);
}
void query(int *f, int *t, int o, int l, int r) {
  if (L > R) return;
  if (l >= L && r <= R) {
    if (!fl)
      ans = min(ans, f[o]);
    else
      ans = max(ans, f[o]);
    return;
  }
  pushdown(f, t, o);
  if (mid >= L) query(f, t, ls, l, mid);
  if (mid < R) query(f, t, rs, mid + 1, r);
  pushup(f, o);
}
void add(int *f, int *t, int o, int l, int r) {
  if (L > R) return;
  if (l >= L && r <= R) {
    f[o] += ans, t[o] += ans;
    return;
  }
  pushdown(f, t, o);
  if (mid >= L) add(f, t, ls, l, mid);
  if (mid < R) add(f, t, rs, mid + 1, r);
  pushup(f, o);
}
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
  freopen("2138.in", "r", stdin);
  freopen("2138.out", "w", stdout);
#endif
  n = read(), x = read(), y = read(), z = read(), mod = read();
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    s[i] = (sqr(x - i) % mod + sqr(y - i) % mod + sqr(z - i) % mod) % mod;
    s[i] += s[i - 1];
  }
  fl = 0, build(f, 1, 0, n);
  fl = 1, build(g, 1, 0, n);
  m = read();
  ned[1] = read(), ned[2] = read();
  x = read(), y = read(), z = read(), mod = read();
  for (int i = 3; i <= m; i++)
    ned[i] = (x * ned[i - 1] % mod + y * ned[i - 2] % mod + z) % mod;
  for (int q = 1; q <= m; q++) {
    ln = read(), rn = read();
    ans = -2e9, fl = 1, L = 1, R = ln;
    query(g, tagg, 1, 0, n);
    Ans = -ans, ans = 2e9, fl = 0, L = rn, R = n;
    query(f, tagf, 1, 0, n);
    Ans = min(Ans + ans, ned[q]);
    printf("%d
", Ans);
    fl = 1, L = ln + 1, ans = -Ans;
    add(g, tagg, 1, 0, n);
    fl = 0, L = rn;
    add(f, tagf, 1, 0, n);
  }
}