本系列文章将于2021年整理出版，书名《算法竞赛专题解析》。
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素数（质数）是数论的基础内容，本节介绍素数的判定。
（ 如果读者学过一些数论，但是还没有系统读过初等数论的书，那么在阅读本文之前，最好也读一本。推荐《初等数论及其应用》，Kenneth H.Rosen著，夏鸿刚译，机械工业出版社，这本书很易读，非常适合学计算机的人阅读：1）概览并证明了初等数论的理论知识；2）理论知识的各种应用，可以直接用在算法题目里；3）大量例题和习题；4）与计算机算法编程有很多结合。花两天时间通读很有益处。）
关于素数，有以下有趣的事实：
（1）素数的数量有无限多。
（2）素数的分布。随着(x)的增大，素数的分布越来越稀疏；第n个素数渐进于logn；随机整数(x)是素数的概率是1/log (x)。
（3）对于任意正整数n，存在至少n个连续的正合数。
有大量关于素数的猜想，著名的有：
（1）波特兰猜想。对任意给定的正整数n > 1，存在一个素数p，使得n < p < 2n。已经证明。
（2）孪生素数猜想。存在无穷多的形如p和p+2的素数对。
（3）素数等差数列猜想。对任意正整数n >2，有一个由素数组成的长度为n的等差数列。
（4）哥德巴赫猜想。每个大于2的正偶数可以写成两个素数的和。这是最有名的素数猜想，也是最令人头疼的猜想，已经困扰数学家3世纪。至今为止，最好的结果仍然是陈景润1966年做出的。
一、小素数的判定
素数定义：只能被1和自己整除的数。
判定一个数是否为素数，有重要的工程意义。在密码学中，经常用到数百位的超大的素数。但是，直接生成一个大素数几乎是不可能的，只能用测试法来找到素数，也就是给定某个范围，然后测试其中哪些是素数。
如何判断一个数n是不是素数？当n ≤ (10^{12})时，用试除法；n >(10 ^{12})时，用Miller_Rabin算法。
根据素数的定义，可以直接得到试除法：用[2, n-1]内的所有数去试着除n，如果都不能整除，就是素数。很容易发现，可以把[2, n-1]缩小到[2,(sqrt n) ]。
试除法的复杂度是O((sqrt n))，n ≤(10^{12})时够用。下面是代码，注意for循环中对(sqrt n)的处理。
bool is_prime(long long n){
if(n <= 1) return false; //1不是质数
for(long long i=2; i*i <= n; i++) //不要这样写：i <= sqrt(n)
if(n % i == 0) return false; //能整除，不是质数
return true;
}
范围[2,(sqrt n)]还可以继续缩小，如果提前算出范围内的所有素数，那么用这些素数来除n就行了。下一节的埃式筛法就用到这一原理。那么，范围[2,(sqrt n) ]内有多少个素数？用(pi(x))表示不超过整数(x)的素数的个数，素数定理给出了素数密度的估计。
素数定理：随着(x)的无限增长，(pi(x))和(x)/log (x)的比趋于1，其中log取自然底数。
值得注意的是，有比(x)/log (x)更好的近似，例如(Li(x))[1] 。
根据素数定理，一个随机整数(x)是素数的概率是1/log (x)。
(x)等于1百万时，约有7.8万个质数；(x)等于1亿时，约有576万个质数。
二、大素数的判定
如果n非常大，试除法就不够用了。例如poj 1811题， n < (2^{54})，如果用试除法，(sqrt n= 2^{27} ≈ 10^8)，提交到OJ会超时。即使n不大，但是如果要检查很多个n，总时间也会超时，例如hdu 2138题。
(《算法导论》Thomas H.Cormen等著，潘金贵等译，机械工业出版社，544页，31.8节“素数的测试”。31.8节的叙述非常清晰易懂，本文的理论内容改写自这一节。)
How many prime numbers hdu 2138
题目描述：给你很多很多正整数，统计其中素数的个数。
输入格式：有很多测试。每个测试的第一行是整数的个数，第二行是整数。
输出格式：对于每个测试，输出素数的个数。
样例输入：
3
2 3 4
样例输出：
2
大素数的判定，目前并没有快速的确定性算法。那么，有没有很快的方法，能“差不多”判定一个极大的整数n是素数呢？从试除法得到提示，读者可以想到一个“取巧”的办法：在[2,(sqrt n) ]内找一些数去除n，如果都不能整除，那么n就有很大概率是个素数；尝试的次数越多，n是素数的概率就越大。这就是概率法素性测试的原理。
当然，数学家能想到更好的概率测试方法，例如费马素性测试、Miller_Rabin素性测试。后者是前者的升级版，应用最广泛。
判定一个整数是否为素数，称为素性测试（Primality test）。有确定型启发式算法和随机算法。随机算法有：费马(Fermat )素性测试、Solovay–Strassen素性测试、Miller-Rabin素性测试等。确定型启发式算法有AKS素性测试、Baillie–PSW素性测试等。
1、费马素性测试
费马素性测试非常简单，它基于费马小定理。
费马小定理：设n是素数，(a)是正整数且与n互质，那么有(a^{n-1} equiv 1(mod n))。
( 符号“ (equiv)”表示同余，(c equiv d(mod m))的意思是c和d模m同余，例如6和16除以5，余数都是1。)
费马小定理的逆命题也几乎成立。费马素性测试，就是基于费马小定理的逆命题，下面介绍方法。
为了测试n是否为素数，在1~n之间任选一个随机的基值(a)，注意(a)并不需要与n互质：
（1）如果(a^{n-1} equiv 1(mod n))不成立，那么n肯定不是素数。这实际上是费马小定理的逆否命题。
（2）如果(a^{n-1} equiv 1(mod n))成立，那么n很大概率是素数，尝试的(a)越多，n是素数的概率越大。称n是一个基于(a)的伪素数。
可惜的是，从（2）可以看出费马素性测试并不是完全正确的。对某个(a)值，总有一些合数被误判而通过了测试；不同的(a)值，被误判的合数不太一样。特别地，有一些合数，不管选什么(a)值，都能通过测试。这种数叫做Carmichael数，前三个数是561、1105、1729。不过，Carmichael数很少，前1亿个正整数中只有255个。而且当n趋向无穷时，Carmichael数的分布极为稀疏，费马素性测试几乎不会出错，所以它是一种相当好的方法。
费马素性测试的编码非常简单。其中的关键是计算(a^{n-1})，这是一个很大的数，不能直接算，需要用快速幂[2]来编码，后面的hdu 2138题给出了代码。
2、Miller-Rabin素性测试
费马素性测试的缺点是不能排除Carmichael数。把费马素性测试稍微改进一下，就是Miller-Rabin素性测试算法。Miller-Rabin素性测试的原理概况地说是这样：用费马测试排除掉非Carmichael数，而大部分Carmichael数用下面介绍的推论排除。
（1）Miller-Rabin算法用到的推论
这个推论和一个数论定理有关。
定理[3]：如果p是一个奇素数，且e≥1，则方程(x^2 equiv 1(mod p^e))，仅有两个解：(x) = 1和(x) = -1。
当e = 1时，方程仅有两个解(x) = 1和(x) = p-1。
证明：(x^2 equiv 1(mod p))等价于(x^2 -1equiv 0(mod p))，即((x+1)(x-1)equiv 0(mod p))，那么或者(x)-1能被p整除，此时(x) = 1，或者 (x)+1能被p整除，此时(x) = p-1。
把(x) = 1和(x) = p-1称为“(x)对模p来说1的平凡平方根”。说法有点儿拗口，理解它的意思就好了。
Miller-Rabin素性测试用到这个方程：(x^2 equiv 1(mod n))。如果一个数(x)满足方程(x^2 equiv 1(mod n))，但(x)不等于平凡平方根1或n-1，那么称(x)是对模n来说1的“非平凡”平方根。例如，(x)=6，n=35，6是对模35来说1的非平凡平方根。
下面给出定理的推论。
推论：如果对模n存在1的非平凡平方根，则n是合数。
推论是定理的逆否命题，即如果对n存在1的非平凡平方根，则n不可能是奇素数或者奇素数的幂。
（2）Miller-Rabin素性测试的步骤
输入n>2，且n是奇数，测试它是否为素数。
根据费马测试，如果(a^{n-1} equiv 1(mod n))不成立，那么n肯定不是素数。
令 (n-1 = 2^tu)，其中u是奇数，t是正整数。编码的时候可以这样做：n-1的二进制表示，是奇数u的二进制表示，后面加t个零。选一个随机的基值(a)，有：
(a^{n-1} equiv (a^u)^{2^t}(mod n))
为了计算(a^{n-1} mod n)，可以先算出(a^u mod n)，然后对结果连续平方t次取模。这是因为符合乘法模运算规则：((c*d) mod n = (c mod n *d mod n) mod n)。
在计算过程中，做以下判断：
1）模运算结果不是1，即(a^{n-1} equiv 1(mod n))不成立，根据费马测试，断定n是合数。
2）模运算结果是1，但是发现了1的非平凡平方根，根据推论，断定n是合数。
以Carmichael数n = 561为例，演示计算过程。n-1 = (2^4)×35，u = 35，t = 4，选(a) = 7，计算过程是：
1）(a^u mod n) = 7(^{35}) mod 561 = 241
2）241(^2) mod 561 = 298
3）298(^2) mod 561 = 166
4）166(^2) mod 561 = 67
5）67(^2) mod 561 = 1
在最后一步，67(^2) mod 561 = 1符合费马测试，但是出现了67这个非平凡平方根，不符合推论。这个例子说明：费马测试不能发现的Carmichael数，用Miller-Rabin测试能找到。
（3）Miller-Rabin算法的出错率和计算复杂度
Miller-Rabin算法需要用多个随机的基值(a)来做以上的测试。设有s个(a)，共做s次测试，出错的概率是2(^{-s})。当s = 50时，出错概率已经小到可以忽略不计了。
计算复杂度：算法做了s次模取幂运算，总复杂度是O(slogn)。
（4）编码
根据以上讨论，Miller-Rabin算法的编码包括4个内容：费马小定理、二次探测定理（推论）、乘法模运算、快速幂取模。
下面给出hdu 2138的代码，它完全重现了上面的解释，请对照理解。
#include <bits/stdc++.h>
typedef long long LL;
LL fast_pow(LL x,LL y,int m){ //快速幂取模：x^y mod m
LL res = 1;
while(y) {
if(y&1) res*=x, res%=m;
x*=x, x%=m;
y>>=1;
}
return res;
}
bool witness(LL a, LL n){ // Miller-Rabin素性测试。返回true表示n是合数
LL u = n-1;
int t = 0; // n-1的二进制，是奇数u的二进制，后面加t个零
while(u&1 ==0) u = u>>1, t++; // 整数n-1末尾有几个0，就是t
LL x1, x2;
x1 = fast_pow(a,u,n); // 先计算 a^u mod n
for(int i=1; i<=t; i++) { // 做t次平方取模
x2 = fast_pow(x1,2,n); // x1^2 mod n
if(x2 == 1 && x1 != 1 && x1 != n-1) return true; //用推论判断
x1 = x2;
}
if(x1 != 1) return true; //最后用费马测试判断是否为合数
return false;
}
int miller_rabin(LL n,int s){ //对n做s次测试
if(n<2) return 0;
if(n==2) return 1; //2是素数
if(n % 2 == 0 ) return 0; //偶数
for(int i = 0;i < s && i < n;i++){ //做s次测试
LL a = rand() % (n - 1) + 1; //基值a是随机数
if(witness(a,n)) return 0; //n是合数，返回0
}
return 1; //n是素数，返回1
}
int main(){
int m;
while(scanf("%d",&m) != EOF){
int cnt = 0;
for(int i = 0; i < m; i++){
LL n; scanf("%lld",&n);
int s = 50; //做s次测试
cnt += miller_rabin(n,s);
}
printf("%d
",cnt);
}
return 0;
}
三、用java函数判定大素数
前面给出的c代码，变量最大是64位的long long类型，约(10^{19})，如果更大，就需要自己处理高精度大数了。
大学的程序设计竞赛，可以用java编码。java有函数可以直接判定一个数是否为素数，这个函数是isProbablePrime()，它的内部实现用到了Miller-Rabin测试和Lucas-Lehmer测试。
编码极其简单，不用自己处理大数的输入，也不用自己写算法。下面是java代码[4]。连续读入数字，如果是素数，就输出“Yes”。
import java.math.*;
import java.util.*;
public class Main {
public static void main(String[] args){
Scanner in = new Scanner (System.in);
BigInteger a;
while(in.hasNextBigInteger()){
a = in.nextBigInteger();
if(a.isProbablePrime(1))
System.out.println("Yes");
else
System.out.println("No");
}
}
}
读者可以用上述代码验证一个100位的素数：
9149014901591490015900000003849002684902869159002693938590001590003839159149015901392684902859014901
《初等数论及其应用》，Kenneth H.Rosen著，夏鸿刚译，机械工业出版社，57页给出了(Li(x))的定义，60页给出了(pi(x))表格。 ↩︎
《算法竞赛入门到进阶》清华大学出版社，罗勇军，郭卫斌著，156页，详细介绍了快速幂的原理和编码。] ↩︎
《算法导论》Thomas H.Cormen等著，潘金贵等译，机械工业出版社，539页，定理31.34、推论31.35，并给出了证明。这个定理有人称为“二次探测定理”。 ↩︎
代码参考：https://blog.csdn.net/qingshui23/article/details/51456944。 ↩︎