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  • 图的遍历(搜索)

    与其他数据结构一样，图也需要进行遍历操作，来访问各个数据点，以及后续对顶点和边进行操作。相对于树来说，图的结构更为复杂。

    图的遍历，可以理解为将非线性结构转化为半线性结构的过程。我们知道，树就是一种半线性结构，经遍历而确定的边类型中，最为重要的类型就是树边，所有的树边与顶点一起构成了原始图的一颗支撑树（森林），称作遍历树(traversal tree)。

    因为图中的顶点间，可能存在多条通路，所以不仅要对边设置各种状态，对于顶点也需要动态地设置多种状态，以避免重复访问同一个顶点多次。图的遍历更加强调对于处于特定状态顶点的甄别和查找，所以也称为图搜索。大部分的图搜索算法都可以在O(n+e)的时间内完成，因为每个顶点和每条边都必须访问，这已经是最优结果。

    图的搜索策略主要有三种，广度优先搜索(bfs)，深度优先搜索(dfs)，优先级搜索(pfs)。不同搜索策略的区别，可以体现为边分类的结果不同，以及所得遍历树的结构差异。决定因素在于，每一步迭代按照何种策略来选取下一个访问的顶点。通常，下一步访问都选取某个已经访问到的顶点的邻接顶点，同一顶点所有邻接顶点的优先级可以根据实际情况确定。各种搜索策略的不同在于，存在多个顶点的时候，下一步选择哪个顶点的邻接顶点。下面分别介绍这三种搜索方法的策略以及简单应用。

    广度优先搜索

    策略：越早被访问到的节点，其邻居越被优先的访问。

    引入波峰集的概念，在所有已访问到的顶点中，仍有邻居尚未访问的，构成波峰集。搜索过程也可以理解为，反复从波峰集中寻找最早被访问到的顶点v，若它的邻居已经全部被访问到，将其逐出波峰集；否则，随意选出一个尚未访问到的邻居，并将它加入波峰集。

    仔细回想，广度优先的策略，与二叉树的层次遍历是相同的。所以可以借鉴二叉树层次遍历的方法，用一个辅助队列来实现图的广度优先搜索：

     1 template<typename Tv, typename Te> void Graph<Tv, Te>::bfs(int s)//以s为起点的广度优先搜索
 2 {
 3     reset(); int clock = 0; int v = s;
 4     do
 5         if (stasus(v) == UNDISCOVERED)//遇到未发现的顶点
 6             BFS(v, clock);//执行一次BFS
 7     while (s != (v = (++v%n)));
 8 }
 9 template<typename Tv, typename Te> void Graph<Tv, Te>::BFS(int v)
10 {
11     queue<int> Q;
12     status(v) = DISCOVERED; Q.push(v);
13     while (!Q.empty())
14     {
15         int v = Q.front(); Q.pop(); //取出最前方的点
16         for(int u = firstNbr(v); u > -1; u = nextNbr(v, u))//枚举v的所有邻居u（按点编号从后向前）
17             if (status(u) == UNDISCOVERED)
18             {
19                 status(u) = DISCOVERED;
20                 Q.push(u);
21                 type(v, u) = TREE; parent(u) = v;//引入树边拓展支撑树并确定父子关系
22             }
23             else
24             {
25                 type(v, u) = CROSS;//跨边
26             }
27         status(v) = VISITED;
28     }
29 }

    可以看到，把边简单地分成了两类：树边和跨边。若当前节点的邻居为UNDISCOVERED，则将边加入到支撑树中，并将点的状态设置为DISCOVERED，存入辅助队列之中，改写父子关系。否则，将边归为跨边(CROSS)。当前节点的所有邻居都已经被检查状态后，该节点的访问完成，并取出队列中最前面的点，继续这一过程，直到辅助队列中没有顶点，即全部顶点均已被访问完毕，算法结束。

    深度优先搜索

    策略：优先选取最后一个访问到的顶点的邻居。

    因此，各顶点被访问到的次序，类似于树中的先序遍历，但完成访问的次序，类似于后序遍历。实现代码如下:

     1 template<typename Tv, typename Te> void Graph<Tv, Te>::dfs(int s)//以s为起点的深度优先搜索
 2 {
 3     reset(); int clock = 0; int v = s;
 4     do
 5         if (stasus(v) == UNDISCOVERED)//遇到未发现的顶点
 6             DFS(v, clock);//执行一次BFS
 7     while (s != (v = (++v%n)));//做到不重不漏
 8 }
 9 template<typename Tv, typename Te> void Graph<Tv, Te>::DFS(int v, int& clock)//递归实现
10 {
11     dTime(v) = ++clock; status(v) = DISCOVERED;//发现的时间
12     for (int u = firstNbr(v); u > -1; u = nextNbr(v, u))
13         switch (status(u))
14         {
15         case UNDISCOVERED:type(u, v) = TREE; parent(u) = v; DFS(u, clock); break;
16         case DISCOVERED:type(u, v) = BACKWARD; break;//有向环路，u必为v的祖先，故为后向边
17         default://u已经访问完毕(visited，有向图)，通过比较承袭关系区分前向边和跨边
18             type(u, v) = (dTime(v) < dTime(u)) ? FORWARD : CROSS; break;//u的发现时间晚，为前向边
19         }
20     status(v) = VISITED; fTime(v) = ++clock;//访问结束的时间
21 }

    把边分为四类：树边，前向边，后向边，跨边。如果u发现了但是还没有访问完毕，说明u是v的祖先，因此定义为后向边；如果u已经是被访问完毕的，就要分开讨论：如果u的发现时间比v还要晚，说明u的层次比v要低，定义为前向边，如果u的发现时间比v早，说明u和v属于不同的分支，定义为跨边。几类边的定义，对于处理一些问题是很有帮助的，比如双连通域分解、拓扑排序等。

    深度优先搜索的策略体现在，发现了一个UNDISCOVERED状态的邻居，就以这个邻居为起点继续递归地进行搜索。一个重要之处在于，用dTime和fTime来表示一个顶点被发现和被访问完毕的时间，一个顶点的活跃期即为dTime----fTime，这可以给我们判断两个顶点是否有血缘关系提供方便。可以证明，两个顶点存在“”祖先-后代”关系，当且仅当两个顶点的活跃期为包含关系。

    算法运行过后，通过parent指针可以给出起始顶点可达域的遍历树，这些树构成了DFS森林。

    这里用了递归的方法，实际上很容易改成迭代方法。与BFS类似，这里使用一个辅助堆栈，需要添加的一些操作是，发现未访问的顶点，就把这个顶点入栈，每次循环检查栈顶的顶点，如果邻居均访问完成，就出栈，取出下一个顶点，直到栈中已经没有顶点。

    深度优先搜索的应用(一)  拓扑排序

    如果一个线性序列，每一个顶点都不会通过边，指向其在此序列中的前驱顶点，那么这个线性序列，称作原有向图的一个拓扑排序(topological sorting)。

    可以证明，有向无环图必然存在拓扑排序，且拓扑排序未必唯一。任一有向无环图必然存在入度为0的顶点，否则这个图将包含环路。这样就产生了得到一个拓扑排序的方法：只要将入度为0的顶点m以及相关联的边从图G中取出，则剩余的G'依然是一个有向无环图，递归下去，直到所有的点都被去掉，则按照次序，即可组成原图的一个拓扑排序。

    另一种思路，可以通过深度优先搜索的方法。对应上面的方法，图中也必然存在出度为0的顶点，而这个顶点在深度优先搜索中会被首先转换为VISITED。与第一种方法类似，将访问完毕的顶点m以及关联边去掉，递归下去，下一个出度为0的顶点应当为m的前驱。由此可见，DFS中各顶点被标记为VISITED的次序，正好逆序地给出了一个原图的拓扑排序，实现代码如下：

     1 template<typename Tv, typename Te> stack<Tv>* Graph<Tv, Te>::tSort(int s)
 2 {
 3     reset(); int clock = 0; int v = s;
 4     stack<Tv>* S = new Stack<Tv>;
 5     do {
 6         if(status(v)==UNDISCOVERED)
 7             if (!TSort(v, clock, S))
 8             {
 9                 while (!S->empty())
10                     S->pop(); break;//任一连通域非DAG，直接返回
11             }
12     } while (s != (v = ( ++v % n ) ) );
13     return S;
14 }
15 template<typename Tv, typename Te> bool Graph<Tv, Te>::TSort(int v, int& clock, stack<Tv>* S)
16 {                                                                  //基于DFS的拓扑排序(单次)
17     dTime(v) = ++clock; status(v) = DISCOVERED;
18     for (int u = firstNbr(v); u > -1; u = nextNbr(v, u))
19         switch (status(u))
20         {
21         case UNDISCOVERED:parent(u) = v; type(v, u) = TREE;
22             if (!TSort(u, clock, S)) return false;//若从u出发，u及其后代不能拓扑排序，返回
23             break;
24         case DISCOVERED:type(v, u) = BACKWARD; return false;//出现后向边直接退出
25         default:
26             type(v, u) = (dTime(v) < dTime(u)) ? FORWARD : CROSS;
27             break;
28         }
29     status(v) = VISITED; S->push(vertex(v));//返回时，顶点按照被访问的次序也就是拓扑排序的次序，在栈中自顶向下
30     return true;
31 }

    这里可以看到，主函数里面执行了一个判别操作，当结束执行函数的时候，栈中仍然有顶点，说明拓扑排序不存在。单次搜索过程中，一旦存在后向边，这个连通域必然存在一个环路，那么也就不存在拓扑排序，可以直接退出本次执行。当主函数执行完毕时，栈中的次序即为一个拓扑排序。

    深度优先搜索的应用(二)  双连通域分解

    对于一个无向图，如果删除一个顶点v后，原图中包含的连通域增多，称v是一个切割节点或关节点。不含任何关节点的图，称为双连通图。任一无向图都可以视为若干个极大的双连通子图组合而成，每一个这样的子图都称为原图的一个双连通域(bi-connected component)。

    讨论什么样的节点可能是关节点。DFS树中的叶节点不可能是关节点，因为删除它不会造成任何影响。如果根节点包含两个分支，那么根节点必然是关节点。对于内部节点，如果删除这个节点后，导致一颗真子树与其真祖先无法连通，那么该节点必然是关节点，反之则不是关节点。

    考虑前面DFS算法中定义的边，后向边是与其祖先相联的，因此，在DFS过程中，只要随时更新每个顶点所能连通的最高祖先(highest connected ancestor,hca)，就能判断关节点，并获得双连通域，实现代码如下：

     1 template<typename Tv, typename Te> void Graph<Tv, Te>::bcc(int s)
 2 {
 3     reset(); int clock = 0; int v = s; stack<int> S;
 4     do {
 5         if (status(v) == UNDISCOVERED)
 6         {
 7             BCC(v, clock, S);
 8             S.pop(); break;//任一连通域非DAG，直接返回
 9         }
10     } while (s != (v = (++v % n)));
11 }
12 template<typename Tv, typename Te> void Graph<Tv, Te>::BCC(int v, int& clock, stack<int>& S)
13 {
14     hca(v) = dTime(v) = ++clock; status(v) = DISCOVERED; S.push(v);
15     for (int u = firstNbr(v); u > -1; u = next(v, u))
16         switch (status(u))
17         {
18         case UNDISCOVERED:parent(u) = v; type(v, u) = TREE; BCC(u, clock, S); 
19             if (hca(u) < dTime(v))//u可以通过后向边指向v的真祖先
20                 hca(v) = min(hca(v), hca(u));
21             else//否则，u无法通过后向边与v的祖先相连，v为关节点，u以下即为一个bcc
22             {
23                 while (v != S.top()) S.pop();//依次弹出栈中当前bcc中的节点
24             }
25             break;
26         case DISCOVERED:type(v, u) = BACKWARD;
27             if (u != parent(v)) hca(v) = min(hca(v), dTime(u));//更新hca(v)
28             break;
29         //default://visited(仅对于有向图)
30         //    type(v, u) = (dTime(v) < dTime(u)) ? FORWARD : CROSS;
31         //    break;
32         }
33     status(v) = VISITED;
34 }

    深度优先搜索的过程中，随时更新节点的最高连通祖先。如果节点UNDISCOVERED，那么遍历返回后，如果hca(u)比他父亲的发现时间小，那么更新父亲的hca；否则，说明无法通过后向边与祖先连接，弹出关节点v之前的节点。如果节点为DISCOVERED状态，此边为后向边，更新hca(v)。
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