投影技术之线性代数投影：LAP

之前写了投影技术的理论基础，即转动算符、D矩阵、投影算符等理论知识：https://www.cnblogs.com/luyi07/p/14586631.html
又写了两种投影技术的思路与比较：https://www.cnblogs.com/luyi07/p/14823838.html
在这个随笔中，我整理其中一种思路，即线性代数投影（Linear Algebraic Projection: LAP) 的操作细节。以下是参考文献：
[1] Calvin W. Johnson and Keven D. O'Mara, "Projection of angular momentum via linear algebra", Physical Review C 96, 064304 (2017).
[2] Calvin W. Johnson and Changfeng Jiao "Convergence and efficiency of angular momentum projection", Journal of Physics G: Nuclear and Particle Physics 46, 015101 (2019).

1. LAP 投影

LAP 方法的核心是下面的式子，其中(N^J_{KM} = langle Psi | hat{P}^J_{KM} | Psi' angle)。

[langle Psi | hat{R}(Omega_i) | Psi' angle = sum_{JKM} D^J_{KM}(Omega_i) N^J_{KM}. ag{1} ]

需要选取合适的 (Omega_i)，使得 (D^J_{KM}(Omega_i)) 是一个可逆的矩阵，最好还将式子稍作变形，变成实数域的操作，方便编程。

2. 欧拉角 (alpha, gamma) 的相关逆运算

2.1 单位圆上复数求和式

如果 (M = 0, 1, cdots, N-1)，则

[frac{1}{N} sum^{N-1}_{k=0} exp( i frac{2pi M }{N}k ) = delta_{M,0}. ]

记 ( heta = frac{2pi M }{N})，则其取值在 ([0, 2pi))。上式左边为复平面单位圆上一系列等间距的点。很容易证明上式，即 (M eq0) 时求和为 0，否则为1。

[S = frac{1}{N} sum^{N-1}_{k=0} exp( i k heta ),\ e^{i heta} S = frac{1}{N} sum^{N}_{k=1} exp( i k heta ), \ ( e^{i heta} -1 ) S = frac{1}{N} (e^{iN heta} - 1 ) = 0. ]

所以，(M = 1,2,cdots, N-1) 时，(S = 0)；(M=0) 时，则直接计算 (S = frac{1}{N} N = 1)。

顺便多说一句，({ 1, e^{i heta}, cdots, e^{i(N-1) heta} })是 (C_N) 群的表示。一共有(N)个类，所以正好构成(N)个不可约表示，这个求和式就是这些不可约表示的正交归一关系。

2.2 (alpha, gamma) 相关的矩阵求逆

以 (gamma) 为例，如果要投影的最大角动量为 (J_{max})，则取 (gamma) 的离散值为

[gamma_k = k frac{ 2pi }{ 2J_{max} +1 }, k = 0, 1, cdots, 2 J_{max}; ]

然后定义矩阵

[Z_{K k} = frac{1}{2J_{max}+1} e^{-i K gamma_k }. ]

因为 (D) 矩阵为

[D^{J}_{KM}(alpha, eta, gamma) = e^{iKalpha} d^J_{KM}(eta) e^{iMgamma}, ]

所以对方程 (1) 进行操作，得到

[sum_{ik} Z_{Ki} Z_{M k} langle Psi | hat{R}( alpha_i, eta_j, gamma_k ) | Psi' angle = sum_J d^J_{KM}(eta_j) N^J_{KM}. ag{2} ]

到了这里，(j) 的维数一般不等于 (J) 的维数，做逆变换不是特别方便，所以构造了下面的办法。

3. 关于 (eta) 的矩阵求逆

其实可以看出来，因为(D^J_{KM})可以写成分别与 (alpha, eta, gamma) 相关的三部分的乘积，所以 (D^J_{KM}(Omega_i)) 可以看做是三个小矩阵的直积。因此先对 (alpha, gamma) 相关的小矩阵做取逆运算，再做与 (eta) 相关的取逆运算，是可行的。
取 (eta) 的离散点

[eta_j = ( j - frac{1}{2} )frac{pi}{N}, j=1,2,cdots,N， ]

若为偶核子系统，则取 $ N = J_{max} + 1 $，否则取 (N = J_{max} + frac{1}{2})。构造

[Delta^{J' J}_{K M} = sum_j d^{J'}_{KM} (eta_j) d^J_{KM}(eta_j), ]

这里 (J, J' geq |M|, |K|)。
然后对方程 (2) 进行操作，得到

[sum_J Delta^{J' J}_{KM} N^J_{KM} = sum_{ ijk} d^{J'}_{KM}(eta_j) Z_{Ki} Z_{Mk} langle Psi | hat{R}(alpha_i, eta_j, gamma_k) | Psi angle. ]

如此解出 (N^J_{KM})，类似地解出 (H^J_{KM})，然后求解 Hill-Wheeler 方程。