参考文献：Morten Hjorth-jensen 计算物理讲义
1. Metropolis-Hastings算法
1.1 随机行走：行走概率 (T(i ightarrow j))和接受概率 (A(i ightarrow j))
随机行者的跃迁概率为
[W( i
ightarrow j ) = T(i
ightarrow j) A(i
ightarrow j).
]
1.2 分布的演变
我们假定有大量的行者，它们在 (t) 时刻的分布为 (omega(i,t))，那么，下一步的分布为
[omega(i,t+1) = sum_j omega(j,t) T( j
ightarrow i ) A( j
ightarrow i ) + sum_j omega(i,t) T( i
ightarrow j ) ( 1 - A(i
ightarrow j) ).
]
第一项表示移动到 (i) 然后被接受的情况，第二项表示从 (i) 移动然后被拒绝的情况。
因为 (sum_j T(i
ightarrow j) = 1)，所以上式可以改写为
[omega(i, t+1) - omega(i,t) = sum_j omega(j,t) T( j
ightarrow i ) A( j
ightarrow i ) - sum_j omega(i,t) T( i
ightarrow j ) A(i
ightarrow j) ).
]
上式左侧是纯收入，右侧第一项表示进账，第二项表示支出。
所以，时间足够长以后，(t
ightarrow infty), 如果体系达到稳态，(omega(i, infty))保持不变，得到我们最初想要的分布，就一切OK了。
1.3 细致平衡
所以，达到稳态以后，一定有
[sum_j omega(j,t) T( j
ightarrow i ) A( j
ightarrow i ) - sum_j omega(i,t) T( i
ightarrow j ) A(i
ightarrow j) ) = 0,
]
据说这个条件必要但不充分，更充分的是细致平衡：
[omega(j) T( j
ightarrow i ) A( j
ightarrow i ) = omega(i) T( i
ightarrow j ) A(i
ightarrow j) ),
]
这个就叫做 Metropolis-Hastings。如果 (T(j ightarrow i) = T(i ightarrow j)) 则叫做 Metropolis算法，剩下的就是设计 (A(i ightarrow j), A(j ightarrow i))，使得
[frac{ A( j
ightarrow i ) }{ A(i
ightarrow j) ) } = frac{omega(i)}{omega(j)},
]
其中 (omega(i), omega(j)) 是目标分布。
有个简单的关系，被冠以复杂的名字：Einstein-Smoluchenski-Kolmogorov-Chapman (ESKC)关系：
[W(vec{x}, t|vec{x}_0, t_0) = int^infty_{-infty} W(vec{x},t|vec{x}', t') W(vec{x}', t' | vec{x}_0, t_0 ) dvec{x}'，
]
它的意思非常直白：昨天从美国出发、明天到达中国的概率，是所有昨天从美国出发、今天到各个国家玩、明天到美国的概率之和。