Bruno Zumino, "Normal Forms of Complex Matrices", Journal of Mathematical Physics 3, 1055 (1962)

有了 Gantmacher 的书（前两篇随笔摘录的内容），Bruno Zumino 的这篇文章很容易 follow，矩阵部分的数学可能个把两个小时就跟着推完了。还有一点关于量子场论的内容，我看不懂，暂时也不需要。
网上查了一下，Bruno Zumino 是超弦理论的提出者之一！没想到和这么重要的人面对同样的数学问题，看来即使是大人物，也得认认真真推这些东西，公式面前人人是平等的。没有人可以和一个定理争论。

1. 两个引理

1.1 引理一：任意幺正、反对称复矩阵 (S = U F U^ op)，(U) 为幺正阵，(F = { [egin{smallmatrix} 0 & -1 \ 1 & 0 end{smallmatrix}], [egin{smallmatrix} 0 & -1 \ 1 & 0 end{smallmatrix}], cdots })

证明：

• 因为 (S) 幺正，所以 (S^{-1} = S^dagger)，而 (S^ op = - S)，所以 (S^{-1} = S^dagger = - S^*)，(S) 与 (S^*) 对易。
• 所以 (A_1 = S + S^*, A_2 = i(S- S^*)) 是互相对易的反对称实数矩阵，所以可以通过同一套正交归一基变换为反对称正则形式。
• (S = frac{1}{2}( i A_1 + A_2 ))，所以(S)也变换为反对称正则形式，只是变换之后矩阵元是复数。
• 另外，因为 (S) 还是幺正的，所以，可以通过计算表明，它变换为反对称正则形式以后，矩阵元模为1：

[S = Q { [egin{smallmatrix} 0 & -e^{ialpha} \ e^{ialpha} & 0 end{smallmatrix}], cdots, } Q^ op ]

• 所以可以再构造一个幺正矩阵(V = V^ op = { e^{ialpha/2}, e^{ialpha/2}, cdots, })，得到 (S = QVFV^ op Q^ op)，命题得证。
  所以，这里使用了 Gantmacher 书上关于对易正规实矩阵的定理，得到 (Q) 这个实正交变换，然后再通过幺正性，得到一个复对角正交变换 (V)，得到 (U = QV)，从而证明引理。

1.2 引理二：任意幺正、对称复矩阵 (S = U U^ op)，(U) 为幺正矩阵

上一篇随笔里有个定理，任意幺正对称复矩阵 (S = e^{i eta})，(eta) 为实对称矩阵，所以 (U = e^{ieta/2}) 即可。

2. 三个定理

2.1 定理1：任意反对称复矩阵 (M = U X U^ op)，其中 (U) 为幺正矩阵，(X) 为正则形式反对称实矩阵：({ [egin{smallmatrix} 0 & -mu \ mu & 0 end{smallmatrix}], cdots, }) 且所有 (mu >=0)。

2.2 定理2: 任意对称复矩阵 (M = U X U^ op)，其中 (U) 为幺正矩阵，(X) 为对角实矩阵：({ e_1, e_2, cdots, }) 且所有 (e >=0)。

证明：构造 (H = M^dagger M = mp M^* M)，(mp) 对应定理1和定理2两种情况。它是厄米、半正定的，所以一定可以通过幺正变换进行实对角化：(mp V M^* M V^dagger = H_d)，(H_d)是半正定的。定义 (M_1 = V^* M V^dagger)，则 (M^ op_1 = mp M_1)，且有 (mp V M^* M V^dagger = mp M^*_1 M_1 = M^dagger_1 M_1 = H_d = H_d^* = mp M_1 M^*_1)，那么，(M_1 H_d = H_d M_1)。
所以有 ((M_1)_{ik} d_k = d_i (M_1)_{ik})，对于 (d_i eq d_k)得到 ((M_1)_{ik} =0)，对于 (d_i = d_k)，可以得到 (M_1) 中的反对称子矩阵 (Psi)，有 (Psi ^dagger Psi = d_i E)，稍作处理即得反对称/对称幺正矩阵 (d^{-1/2}_i Psi) ，根据引理1，引理2可得 (d^{-1/2}_i Psi = U F U^ op)，即 (Psi = U (d^{1/2}_i F) U)， 或者 (d^{-1/2}_i Psi = U U^ op)，即 (Psi = U (d^{1/2}_i E) U)。再把 (V) 变换乘上，定理1，定理2得到证明。

这个技巧很值得学习，先通过 (M^dagger M) 构造厄米矩阵，得到对角形式，然后再通过 (M_1 H_d = H_d M_1) 得到 (M_1) 结构的讨论。

2.3 定理3: 任意复矩阵 (M = UXV)，(U,V)为幺正矩阵，(X)是实对角半正定阵。

证明：因为 (M^dagger M) 是厄米、半正定的，所以有 (M^dagger M = S H_d S^dagger)，记 ((M^dagger M)^{-1/2} = S H^{-1/2}_d S^dagger)，则有 ((M^dagger M)^{-1/2} M^dagger) 是幺正的。
另外，(M(M^dagger M)^{-1/2} M^dagger) 是厄米、半正定的，所以存在 (U)，使得 (U^dagger M(M^dagger M)^{-1/2} M^dagger U=X) 是实对角半正定阵。取 (V^dagger = (M^dagger M)^{-1/2} M^dagger U)，即得

[U X V = M, ]

命题得证。

2.4 如果有 (d_i = d_k = 0)，上面的论断是有漏洞的。Zumino说，可以给 (M) 加一个微扰，通过微扰也可以给出证明。