参考：http://blog.csdn.net/f_zyj/article/details/76037583
如果公式炸了请去我的csdn博客：http://blog.csdn.net/luyouqi233/article/details/79323568
原文即是一篇很好的FFT入门博客，但是笔者打算为了日后的学习，则将原篇章的结构删改增添一下，如有思路上的雷同十分正常。
“是时候打开FFT的大门了！”
预备知识：
1.至少知道基础数论与一定解三角形知识（大概是高中水平）。
2.定义(i=sqrt{-1})
3.引入复数（即形如(a+bi)（a,b均为实数）的数的集合）
4.((cos heta+i imes sin heta)^k=cos(k heta)+i imes sin(k heta))
5.显然我们对多项式FFT之后得到的答案不是我们想要的，那么这时候就需要反着用FFT把式子再变回去（本文记做IFFT）。
这里证明一下第四条，用归纳法。
显然当(k=1)时成立。
当(k)成立时，我们有：
((cos heta+i imes sin heta)^{k+1})
(=(cos heta+i imes sin heta)^k imes (cos heta+i imes sin heta))
(=(cos(k heta)+i imes sin(k heta)) imes (cos heta+i imes sin heta))
(=cos(k heta)cos heta+i imes sin(k heta)cos heta+i imes cos(k heta)sin heta+i^2 imes sin(k heta) sin heta)
(=cos(k heta)cos heta-sin(k heta) sin heta+i imes (sin(k heta)cos heta+cos(k heta)sin heta))
(=cos((k+1) heta)+i imes sin((k+1) heta))
得证。
问题引入：
设(A(x)=sum_{i=0}^{n-1}a_ix^i,B(x)=sum_{i=0}^{n-1}b_ix^i)，求(A(x) imes B(x))后的多项式系数。
初探：
显然我们有一个(O(n^2))的解法，但是实在是太慢了。
考虑到一个(n-1)次多项式可以看做是定义在复数域上的函数，则我们一定可以找到n个点来唯一确定这个函数。
当然我们也可以通过这些点来表示这个多项式。
假设：
(A(x))被表示为：(<(x_0,y_{a_0}),(x_1,y_{a_1}),ldots,(x_{2n-2},y_{a_{2n-2}})>)
(B(x))被表示为：(<(x_0,y_{b_0}),(x_1,y_{b_1}),ldots,(x_{2n-2},y_{b_{2n-2}})>)
显然(A(x) imes B(x))被表示为：(<(x_0,y_{a_0}y_{b_0}),(x_1,y_{a_1}y_{b_1}),ldots,(x_{2n-2},y_{a_{2n-2}}y_{b_{2n-2}})>)
这里多取了点的原因在于(A(x) imes B(x))是一个(2n-2)次多项式，则至少要取(2n-1)个点才能保证正确。
但是显然还是(O(n^2))的。
再试：
考虑设(A(x_i)=A_0(x_i^2)+x_iA_1(x_i^2))，其中:
(A_0(x)=a_0+a_2x+a_4x^2+ldots+a_{n-2}x^{frac{n}{2}+1})
(A_1(x)=a_1+a_3x+a_5x^2+ldots+a_{n-1}x^{frac{n}{2}+1})
其实就是按照系数下标的奇偶性分类了一下。
此时我们再令取点的(x)值为(<x_0,x_1,ldots,x_{frac{n}{2}-1},-x_0,-x_1,ldots,-x_{frac{n}{2}-1}>)
我们发现把(x)平方后我们的取值瞬间缩小了一半，而原式唯一变化的就是(A_1(x))前的符号。
看起来我们似乎找到了(O(nlogn))的可行方案。
但是很可惜，这样优秀的(x)取值的性质只会保留一次，也就是说我们只是得到了一个(O(frac{n^2}{2}))。
如何才能每次将问题的规模缩小一半是我们的目标。
插曲：
有个人告诉你：不如试试(X_n=cosfrac{2pi}{n}+i imes sinfrac{2pi}{n}) 的 (0ldots n-1)次方作为(x)的取值。
这块大家一直有个疑惑：这是怎么构造出来的啊？
事实上傅里叶变换最早是应用于信号处理上的，傅里叶提出：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。
多项式可以看做非连续周期信号，然后通过各种奇妙的姿势让它逼近正弦曲线的组合形，详情可以看松松松WC2018的课件。
“逼近”显然用到了微积分，不适合初学者，所以就直接跳过了。（其实我也不会……）
（再多说一点吧，其实上面和下面的数学推理完全可以从物理层面理解，还是可以参考松松松WC2018的课件）
继续：
那么令取点的(x)值为(<X_n^0,X_n^1,ldots,X_n^{n-1}>)
我们可知：
((X_n^{k})^2)
(=X_n^{2k})
(=cosfrac{2k imes 2pi}{n}+i imes sinfrac{2k imes 2pi}{n})
(=cosfrac{2kpi}{frac{n}{2}}+i imes sinfrac{2kpi}{frac{n}{2}})
(=X_{frac{n}{2}}^k)
(X_n^{k})
(=cosfrac{k imes 2pi}{n}+i imes sinfrac{k imes 2pi}{n})
根据三角函数的周期性可知，(k)对(n)取模显然不会对答案造成影响。
于是我们有(X_n^{k}=X_n^{k\%n})
那么显然对于(<(X_n^0)^2,(X_n^1)^2,ldots,(X_n^{n-1})^2>)
它等效于(<X_{frac{n}{2}}^0,X_{frac{n}{2}}^1,ldots,X_{frac{n}{2}}^{frac{n}{2}-1},X_{frac{n}{2}}^0,X_{frac{n}{2}}^1,ldots,X_{frac{n}{2}}^{frac{n}{2}-1}>)
我们好像看到了(O(nlogn))的曙光了。
尾声：
显然我们可以对(x)的取值折半，然后对于左右区间的(x)值递归下去即可。
Q1：诶等等，“再试”里面的内容好像没有应用上啊……
A1：那就转化一下，其实我们只需要求一个区间的(A_0(x))和(A_1(x))值递归下去求(A(x))即可。
也就是说其实我们是得到了：
(<(A_0)_0,(A_0)_1,ldots,(A_0)_{frac{n}{2}-1},(A_1)_0,(A_1)_1,ldots,(A_1)_{frac{n}{2}-1}>)
Q2：这好像是画蛇添足……
A2：emmm……我说这个可以用于常数优化你信吗……
显然(A(X_n^k)=(A_0)_{k\%frac{n}{2}}+X_n^k(A_1)_{k\%frac{n}{2}})
取模是因为，不要忘了我们的取值是由两个一样的左右区间合并在一起的。
那么我们得到了(<A_0,A_1,ldots,A_{n-1}>)
（其中(A_k=A(X_n^k))）
我们好像把这个序列的长度减少了一半诶！那自然是快了二倍啊。
不要忘了n要满足始终是2的倍数，所以n要取2的整数次幂，同时将没用的次幂的系数填成0。
Q3：IFFT怎么做啊？
A3：继续看下去……？
补遗：
略讲一下IFFT。
显然我们可以把FFT的最初算法（也就是DFT）看做两个矩阵相乘。
两个矩阵分别一个填((X_n^k)^m)，一个填系数，可以上参考处原博客看矩阵。
那么我们把第一个矩阵变成逆矩阵岂不是为IFFT？
其实就是这样，并且事实上就是填(((X_n^{-k})^m)/n)，具体证明过程看参考处原博客。
剩下的做法就和FFT一样啦。
谢幕：
事实上我上述讲的内容其实没有多少用（滑稽。
因为你理解半天也不如不理解知道怎么用然后默写下来。
但是理解了更好背啊。
例题：
模板：
HDU1402：A * B Problem Plus：http://www.cnblogs.com/luyouqi233/p/8448969.html
应用：
BZOJ3527：[ZJOI2014]力：http://www.cnblogs.com/luyouqi233/p/8452117.html
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+本文作者：luyouqi233。 +
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