BZOJ3675 & 洛谷3648 & UOJ104：[Apio2014]序列分割——题解

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3675

https://www.luogu.org/problemnew/show/P3648

http://uoj.ac/problem/104

PS：题面与题解针对于洛谷与uoj版本，bzoj请自觉把“输出做法”删去。

小H最近迷上了一个分隔序列的游戏。在这个游戏里，小H需要将一个长度为n的非负整数序列分割成k+1个非空的子序列。为了得到k+1个子序列，小H需要重复k次以下的步骤：

1.小H首先选择一个长度超过1的序列（一开始小H只有一个长度为n的序列——也就是一开始得到的整个序列）；

2.选择一个位置，并通过这个位置将这个序列分割成连续的两个非空的新序列。

每次进行上述步骤之后，小H将会得到一定的分数。这个分数为两个新序列中元素和的乘积。小H希望选择一种最佳的分割方式，使得k轮之后，小H的总得分最大。

参考：洛谷题解（虽然不算参考emmm只是斜率优化写跪了来debug用的）。

不难证出只要分割点固定那么答案固定，因此O(kn^2)不难想。

令s[i]表示前i项前缀和，那么我们有：

f[k][i]=max(f[k][i],f[k-1][j]+(s[i]-s[j])*s[j])

这个式子显然可以斜率优化，维护一个单调不增序列，令k<j<i。

忽略f的前一维，则当f[k]+(s[i]-s[k])*s[k]<=f[j]+(s[i]-s[j])*s[j]，把k从队首弹出。

所以g[k,j]=(f[k]-f[j]+sqr(s[j])-sqr(s[k]))/(s[j]-s[k])<=s[i]时弹出k即可。

同时考虑g[k,j]>=g[j,i]时把j弹出，给出证明。

显然当g[j,i]<=s[i]时j不优。

当g[k,j]>=g[j,i]>s[i]时k比j优仍然把j弹出。

//我还naive的想要维护单调不减序列结果各种奇葩错误emmm……

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double dl;
const int N=1e5+5;
const int K=205;
inline int read(){
    int X=0,w=0;char ch=0;
    while(!isdigit(ch)){w|=ch=='-';ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))X=(X<<3)+(X<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return w?-X:X;
}
ll f[2][N];
int n,k,nxt[N][K],q[N],s[N],l,r,now=1,pre=0;
inline ll sqr(ll k){return k*k;}
inline dl suan(int j,int k){
    if(s[j]==s[k])return -1e18;
    int i=pre;
    return (f[i][k]-f[i][j]+sqr(s[j])-sqr(s[k]))/(dl)(s[j]-s[k]);
}
int main(){
    n=read(),k=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)s[i]=s[i-1]+read();
    for(int j=1;j<=k;j++){
        now^=1,pre^=1;l=r=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            while(l<r&&suan(q[l],q[l+1])<=(dl)s[i])l++;
            int t=q[l];
            f[now][i]=f[pre][t]+(ll)(s[i]-s[t])*s[t];nxt[i][j]=t;
            while(l<r&&suan(q[r-1],q[r])>=suan(q[r],i))r--;
            q[++r]=i;
        }
    }
    printf("%lld
",f[now][n]);
    int tmp=nxt[n][k];
    while(k){
        printf("%d ",tmp);
        tmp=nxt[tmp][--k];
    }
    return 0;
}

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