AVL树

定义：每个节点的左右子树的高度最多差1的二叉查找树。（空树的高度为-1）。

AVL树保证树的高度只比log(N)多一点，因此除了插入删除外，可以保证所有的树操作都以O(logN)执行。

当插入一个节点的时候，只有那些从插入点到根节点路径上的点的平衡性可能被破坏，在最深的不满足平衡性的节点进行平衡操作，可以重新使整个树满足AVL特性。

主要操作：对不满足AVL特性的子树执行单旋转和双旋转操作，使得插入后的子树保持和插入前的子树相同的高度。

节点的基本定义：

struct AvlNode;
typedef struct AvlNode *Position;
typedef struct AvlNode *AvlTree;

struct AvlNode{
    ElementType Element;
    AvlTree Left;
    AvlTree Right;
    int Height;
};

单旋转（左-左  右-右）代码如下：

Position SingleRotateWithLeft(AvlTree K2){
    Position K1;
    K1 = K2->Left;
    K2->Left = K1->Right;
    K1->Right = K2;

    K2->Height = max(Height(K2->Left), Height(K2->Right)) + 1;
    K1->Height = max(Height(K1->Left), K2->Height) + 1;
    return K1;
}

Position SingleRotateWithRight(AvlTree K2){
    Position K1;
    K1 = K2->Right;
    K2->Right = K1->Left;
    K1->Left = K2;
    
    K2->Height = max(Height(K2->Left), Height(K2->Right)) + 1;
    K1->Height = max(K2->Height, Height(K1->Right)) + 1;
    return K1;
}

双旋转（左-右 右-左）代码如下：

Position DoubleRotateWithLeft(AvlTree K3){
    K3->Left = SingleRotateWithRight(K3->Left);
    return SingleRotateWithLeft(K3);
}

Position DoubleRotateWithRight(AvlTree K3){
    K3->Right = SingleRotateWithLeft(K3->Right);
    return SingleRotateWithRight(K3);
}

插入算法如下：

AvlTree Insert(ElementType X, AvlTree T){
    if(T == NULL){
        T = (AvlTree)malloc(sizeof(struct AvlNode));
        T->Height = 0;
        T->Left = T->Right = NULL;
        T->Element = X;
    }
    else if(X < T->Element){
        T->Left = Insert(X, T->Left);
        if(Height(T->Left)-Height(T->Right) == 2){
            if(X < T->Left->Element){
                T = SingleRotateWithLeft(T);
            }
            else{
                T = DoubleRotateWithLeft(T);
            }
        }
    }
    else if(X > T->Element){
        T->Right = Insert(X, T->Right);
        if(Height(T->Right)-Height(T->Left) == 2){
            if(X > T->Right->Element){
                T = SingleRotateWithRight(T);
            }
            else{
                T = DoubleRotateWithRight(T);
            }
        }
    }

    T->Height = max(Height(T->Left), Height(T->Right)) + 1;
    return T;
}