关于幂零阵与秩1阵的专题讨论

幂零阵

$f命题：$设$A,B in {M_n}left( F ight)$，若$AB = BA$，则当$B$为幂零阵时，有$left| {A + B} ight| = left| A ight|$ 

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$f命题：$设$A in {M_n}left( F ight)$，且${A^{n - 1}} e 0,{A^n} = 0$，则不存在$X in {M_n}left( F ight)$，使得${X^2} = A$

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$f命题：$设$A = {left( {{a_{ij}}} ight)_{n imes n}}$为幂零阵，且${a_{12}} e 0,{a_{13}} = 0,{a_{22}} = 0,{a_{23}} e 0$，证明：不存在矩阵$B$，使得${B^{n - 1}} = A$

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$f命题：$设$sigma$为$n$维线性空间$V$的线性变换，若$Imsigma=Kersigma$，求$V$的一组基，使得$sigma$在该基下的矩阵有简单形状

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$f(11南航六)$设$sigma$为$n$维线性空间$V$上的线性变换，$sigma$满足${sigma ^{k - 1}} e 0,{sigma ^k} = 0$，其中$kgeqslant 2$是正整数，证明：

(1)$sigma$在$V$的任何一组基下的矩阵不可能是对角阵

(2)若$sigma$的秩为$r$，则$k leqslant r + 1$

(3)若$k = n$，则$sigma$在$V$的某组基下的矩阵为$left( {egin{array}{*{20}{c}}0&{}&{}&{}&{} \ 1&0&{}&{}&{} \ {}&1& ddots &{}&{} \ {}&{}& ddots & ddots &{} \ {}&{}&{}&1&0 end{array}} ight)$

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$f(10南开九)$设$V$为$n$维复线性空间，${ ext{End}}left( V ight)$为$V$上所有线性变换构成的线性空间，又$A,B$为$V$的子空间，$A subset B$，令[M = left{ {x in { ext{End}}left( V ight)|xy - yx in A,forall y in B} ight}]若${x_0} in M$满足$trleft( {{x_0}y} ight) = 0,forall y in M$，证明：$x_0$必为幂零线性变换

秩1阵

$f命题：$设实矩阵$A = {left( {{a_1}, cdots ,{a_n}} ight)^T}left( {{a_1}, cdots ,{a_n}} ight)$，且$sumlimits_{k = 1}^n {{a_k}^2}  = 1$，证明：$left| {E - 2A} ight| =  - 1$

$f命题：$设$V$为数域$P$上的$n$维线性空间，$mathcal{A}$为$V$上的线性变换，且$rleft( {cal A} ight) = 1$，证明：若$mathcal{A}$不可对角化，则必是幂零的

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$f命题：$设$A,B$为$n$阶方阵，且$r(AB-BA)=1$，则$A,B$可同时上三角化

$f命题：$证明$X=XJ+JX$只有零解，其中$X,J$均为$n$阶方阵，且$J$的所有元素为$1$

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$f(12燕山大学)$若单位列向量$alpha ,eta  in {R^n}$，且${alpha ^T}eta  = 0$，则矩阵$alpha {eta ^T} + eta {alpha ^T}$相似于对角阵$diag(1, - 1,0, cdots ,0)$

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$f(12华科五)$设$A$的所有元素为$1$，求$A$的特征多项式与最小多项式，并证明存在可逆阵$P$，使得${P^{ - 1}}AP$为对角阵

$f(10华科六)$设在${R^n}$空间中，已知线性变换$T$在任一基${e_i}$下的坐标均为${left( {1,1, cdots ,1} ight)^prime }$，其中${e_i}$为单位阵的第$i$列的列向量，求$T$的特征值，并证明存在${R^n}$中的一组标准正交基，使得$T$在这组基下的矩阵为对角阵

$f(11华南理工七)$用$J$表示元素全为$1$的$n$阶矩阵$left( {n ge 2} ight)$，设$fleft( x ight) = a + bx$是有理数域$Q$上的一元多项式，令$A=f(J)$

$(1)$求$J$的全部特征值与特征向量

$(2)$求$A$的所有特征子空间

$(3)$$A$是否可对角化？如果可对角化，求$Q$上的一个可逆阵$P$，使得${P^{ - 1}}AP$为对角阵，并写出这个对角阵

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附录1(幂零阵) 

$f命题1：$$A$为幂零阵当且仅当$A$的特征值全为$0$ 

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$f命题2：$设$A$为$n$阶幂零阵，则$left| {E + A} ight| = 1$ 

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$f命题3：$设$A in {M_n}left( F ight)$，且对任意$k in {Z^ + }$，有$trleft( {{A^k}} ight) = 0$，则$A$为幂零阵 

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$f命题4：$ 

附录2(秩1阵)

$f命题1：$$n$阶矩阵$A$的秩为$1$的充要条件是存在非零列向量$alpha ,eta $，使得$A = alpha eta '$

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$f命题2：$设$alpha ,eta $为$n$维非零列向量，且$A = alpha eta '$，则${A^2} = trleft( A ight) cdot A$，进而${A^k} = tr{left( A ight)^{k -1}} cdot A$

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$f命题3：$设$alpha ,eta $为$n$维非零列向量，且$A = alpha eta '$，求$A$的特征值与特征向量

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$f命题4：$设$alpha ,eta $为$n$维非零列向量，且$A = alpha eta '$，求$A$的最小多项式

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$f命题5：$设$alpha ,eta $为$n$维非零列向量，且$A = alpha eta '$，则$A$相似于对角阵的充要条件是$trleft( A ight) e 0$

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$f命题6：$设$alpha ,eta $为$n$维非零列向量，且$A = alpha eta '$，若$tr(A)=0$，则$A$为幂零阵

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$f命题7：$设$alpha ,eta $为$n$维非零列向量，且$A = alpha eta '$，求$A$的$Jordan$标准形

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