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$f证明$  由于$f_n$几乎处处收敛于$f$，且$displaystyle|{f_n}|mathop { le} limits_{a.e.} F$，则令$n o infty $，有$displaystyle|{f}|mathop { le} limits_{a.e.} F$，从而由$F$可积得到$f$是可积的

  $(1)$首先考虑$mleft( E ight) < infty $的情况

由于$F$可积，则由积分的全连续性知，对任给的$varepsilon  > 0$，存在$delta  > 0$，使得对任意可测集$e subset E$满足$mleft( e ight) < delta $时，有[int_e {Fleft( x ight)dx}  < frac{varepsilon }{4}]

又由于$f_n$几乎处处收敛于$f$，则由$f{Egoroff定理}$知，对上述的$delta  > 0$，存在可测集${E_delta } subset E$，使得[mleft( {Eackslash {E_delta }} ight) < delta ]且$f_n$在${E_delta }$上一致收敛于$f$，即对任给的$varepsilon  > 0$，存在$N$，使得当$n ge N$时，对任意$x in {E_delta }$，有[left| {{f_n}left( x ight) - fleft( x ight)} ight| < frac{varepsilon }{{2mleft( E ight)}}]

从而可知egin{align*}left| {int_E {{f_n}left( x ight)dx} - int_E {fleft( x ight)dx} } ight| &le int_E {left| {{f_n}left( x ight) - fleft( x ight)} ight|dx} \
&= int_{Eackslash {E_delta }} {left| {{f_n}left( x ight) - fleft( x ight)} ight|dx} + int_{{E_delta }} {left| {{f_n}left( x ight) - fleft( x ight)} ight|dx} \
&< int_{Eackslash {E_delta }} {2Fleft( x ight)dx} + frac{varepsilon }{{2mleft( E ight)}} cdot mleft( E ight) < frac{varepsilon }{2} + frac{varepsilon }{2} = varepsilon 
end{align*}

  $(2)$其次考虑一般的$E$的情况

设$left{ {{E_n}} ight}$是$E$的测度有限的单调覆盖，则由$F$可积的定义知[mathop {lim }limits_{n o infty } int_{{E_n}} {{{left[ F ight]}_n}left( x ight)dx}  = int_E {Fleft( x ight)dx} ]即对任给的$varepsilon  > 0$，存在$N$，使得当$n ge N$时，有[0 le int_E {Fleft( x ight)dx}  - int_{{E_n}} {{{left[ F ight]}_n}left( x ight)dx}  < frac{varepsilon }{4}]于是当$n ge N$时，我们有

egin{align*}
left| {int_{Eackslash {E_n}} {left[ {{f_n}left( x ight) - fleft( x ight)} ight]dx} } ight| &le int_{Eackslash {E_n}} {2Fleft( x ight)dx} \
&= 2left( {int_E {Fleft( x ight)dx} - int_{{E_n}} {Fleft( x ight)dx} } ight)\
&le 2left( {int_E {Fleft( x ight)dx} - int_{{E_n}} {{{left[ F ight]}_n}left( x ight)dx} } ight) < frac{varepsilon }{2}
end{align*}又对于测度有限的${E_n}$，由$(1)$可知，当$n ge N$时，有[left| {int_{{E_n}} {left[ {{f_n}left( x ight) - fleft( x ight)} ight]dx} } ight| < frac{varepsilon }{2}]所以对任给的$varepsilon  > 0$，存在$N$，使得当$n ge N$时，有

egin{align*}
left| {int_E {left[ {{f_n}left( x ight) - fleft( x ight)} ight]dx} } ight|& le left| {int_{Eackslash {E_n}} {left[ {{f_n}left( x ight) - fleft( x ight)} ight]dx} } ight| + left| {int_{{E_n}} {left[ {{f_n}left( x ight) - fleft( x ight)} ight]dx} } ight|\
&< frac{varepsilon }{2} + frac{varepsilon }{2} = varepsilon
end{align*}

$f注1：$$f(引理)$设$f$是$E$上的可积函数，$g$是$E$上的可测函数，若$left| g ight| le f$，则$g$也是可积的

方法一

$f注2：$$f(积分的全连续性)$设$f$是$E$上的可积函数，则对任给的$varepsilon  > 0$，存在$delta  > 0$，使得对任意可测集$e subset E$满足$mleft( e ight) < delta $时，有[int_e {left| {fleft( x ight)} ight|dx}  < frac{varepsilon }{4}]

方法一

$f注3：$