证明：反证法，假设$X$是完备的度量空间，且是第一纲的，下面我们推出矛盾
由于$X$是第一纲的，则$X$可表示为可数个疏朗集的并，不妨设$X = igcuplimits_{n = 1}^infty {{M_n}} $，其中${M_n}$均为疏朗集
任取一个闭球$B(a,1)$，由${M_1}$是疏朗集知，存在$X$中的非空闭球$Bleft( {{a_1},{r_1}} ight) subset Bleft( {a,1} ight)$，使得[Bleft( {{a_1},{r_1}} ight) cap {M_1} = emptyset ]其中不妨设$0<{r_1}<1$，又由${M_2}$是疏朗集知，存在$X$中的非空闭球$Bleft( {{a_2},{r_2}} ight) subset Bleft( {{a_1},{r_1}} ight) $，使得[Bleft( {{a_2},{r_2}} ight) cap {M_2} = emptyset ]其中不妨设$0 < {r_2} < frac{1}{2}$，如此可以选得一套非空闭球[Bleft( {{a_1},{r_1}} ight) supset Bleft( {{a_2},{r_2}} ight) supset cdots supset Bleft( {{a_n},{r_n}} ight) supset cdots ]使得$Bleft( {{a_n},{r_n}} ight) cap {M_n} = emptyset $，且$0 < {r_n} < frac{1}{n}$
于是由闭球套定理知，存在唯一的$x in igcaplimits_{n = 1}^infty {Bleft( {{a_n},{r_n}} ight)} $，又$Bleft( {{a_n},{r_n}} ight) cap {M_n} = emptyset $，所以有$x otin igcuplimits_{n = 1}^infty {{M_n}} $，而$X = igcuplimits_{n = 1}^infty {{M_n}} $，出现矛盾