莫比乌斯函数
定义
对(d)进行质因数分解:(d=p_1^{r1}p_2^{r2}p_3^{r3}····p_k^{rk})
(r=max{r_1,r_2,r_3···r_k})
莫比乌斯函数的定义为
也就是说
- 当(d=1)时,(mu(d)=1)
- 当(d)质因数分解后,若质因子中的最大次数大于一,(mu(d)=0)
- 当(d)质因数分解后,质因子中的最大次数等于一,也就是(d=p_1p_2p_3···p_k)时,(mu(d)=(-1)^k),(k)为质因子的个数
举个栗子:
(mu(1)=1\ mu(3)=(-1)^1=-1\ mu(6)=(-1)^2=1\mu(4)=0)
性质
性质1:
对于任意正整数(n),有$$sum_{dmid n}mu(d)=[n=1]$$([n=1])表示当(n=1)的时候值为(1),否则值为(0)。
证明(请教于wby大佬):
当(n=1)时,显然。
考虑(n>1)的情况,(n=p_1^{k1}o_2^{k2}p_3^{k3}···p_m^{km})
根据定义显然只有当(k_1=k_2=k_3=···k_m=1)时有贡献,否则为(0)。
我们就只讨论有贡献的情况;
设(n)的因子(d)中有(i)个质因子,(mu(d)=(-1)^r),因为(d)的质因子一定是(n)的质因子,从(m)个质因子中选出(i)的质因子的组合数就为(C_m^r)。
然后根据二项式定理:
令(x=1,y=-1),可得:
由此得证
性质2:
对于任意正整数(n)均有
证明:
这时根据性质1
然后先枚举最大公约数
得到
板子
只需要在筛法上加四句话
void shai(int n) {
mu[1] = 1; //定义mu[1]=1
for(int i = 2; i <= n; i++) {
if (!vis[i]) p[++num] = i, mu[i] = -1; //mu质数=-1
for (int j = 1; j <= num; j++) {
if (i * p[j] > n) break;
vis[i * p[j]] = 1;
if (!i % p[j]) { //i%p[j]==0说明i有p[j]这个因子,所以i*p[j]=0
mu[i * p[j]] = 0;
break;
} else mu[i * p[j]] = -mu[i]; //有多了一个质因子,所以取负
}
}
}
莫比乌斯反演
略微说明了一下莫比乌斯函数函数后,就迎来最重要的内容,莫比乌斯反演。
定义:
如果F(n),f(n)是数论函数,且满足
则有反演:
证明:
将(F(dfrac{n}{d}))带入得
观察后面的式子,发现要满足(dfrac{n}{d}div k=0),所以实际上就是要求
那我们就可以理解为对于所有的二元组((mu(d),f(k)))都能被枚举到
所以我们枚举(k), 式子就变成了
再转换一下,变成
然后根据莫比乌斯函数的性质1
只有当(k=n)时,(sum_{dmid frac{n}{k}}mu(d)=1),其余情况为(0);
于是原式=(f(n))
莫比乌斯反演的另一种形式:
当$$F(n)=sum_{nmid d}f(d)$$时