leetcode problem 10 Regular Expression Matching(动态规划)

Implement regular expression matching with support for '.' and '*'.

'.' Matches any single character.
'*' Matches zero or more of the preceding element.

The matching should cover the entire input string (not partial).

The function prototype should be:
bool isMatch(const char *s, const char *p)

Some examples:
isMatch("aa","a") → false
isMatch("aa","aa") → true
isMatch("aaa","aa") → false
isMatch("aa", "a*") → true
isMatch("aa", ".*") → true
isMatch("ab", ".*") → true
isMatch("aab", "c*a*b") → true



有两种方法， 一种是递归直接匹配，比较好理解，代码简洁。
　　　　　　另一种是DP，时间复杂度小 ，为O(m*n) 其中m是匹配串长度，n是模式串长度。

先说第一种：
　　　　设S为匹配串，P为模式串，令i指向匹配串Si，令j指向模式串Pj，判断P[j+1]是否为*  如果不是*，判断S[i] == P[j] ?　如果等于，则递归处理S[i+1] P[j+1]，不等于则返回false。如果P[j+1]是*，则需要综合考虑两种情况，一个是*表示前一个字符重复0次，
　　另一种情况是前一个字符重复 >=1次的情况，并对这两种情况取"或"。 看代码很容易理解的

Runtime: 40 ms

#define ISMATCH(a, b) (a != '' && (a == b || b == '.'))

class Solution {
public:
    bool isMatch(const char *s, const char *p, int i = 0, int j = 0) {
        if (p[j] == '') 
            return s[i] == '';
        if (p[j+1] != '*') 
            return ISMATCH(s[i], p[j]) && isMatch(s, p, i+1, j+1);
        if (p[j+1] == '*') {
            return     //0 times
                isMatch(s, p, i, j+2) ||
                    // more times 
                (ISMATCH(s[i], p[j]) && isMatch(s, p, i+1, j));
        }
        return false;
    }
};

第二种方法用的是动态规划，非常巧妙。时间复杂度比较低为O（m*n）
　　令dp[i][j]表示匹配串S[1..i]是否与模式串P[1..j]匹配。 dp[i][j] = true表示匹配，dp[i][j] = false表示不匹配，状态转移方程可以写成这样：

　　　　　　　　　　  dp[i][j-2]  　　　　　　　　　　　　　　　　if P[j] == '*' 考虑*表示重复前一字符为0次的情况
　　　　dp[i][j] =  dp[i][j-1]　　　　　　　　　　　　　　　　　 if P[j] == '*' 考虑*表示重复前一字符为1次的情况（注意这里不用重复字符大于一次的情况，因为其实将来的状态矩阵中已经保存了的, 如dp[i][j]表示重复一次的情况且P[j] = '*'， 那么dp[i+1][j]表示重复2次的情况，
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　dp[i+2][j]表示重复3次的情况，一次类推.）
　　　　　　　　　　　dp[i-1][j-1] && S[i] == S[j]　　　　　　 if P[j] != '*'


其实只要理解了dp[i][j]表示什么意思，就很好解释了。
代码如下（做了一些优化，本来状态矩阵需要DP[m][n]的空间代价的，但是由于状态转移方程中在获得dp[i][j]时只用到了dp[i][j-2]，所以可以只用dp[1..n]来维护状态）
Runtime: 10 ms

#define ISMATCH(a, b) (a == b ||(a != '' && b == '.'))


class Solution {
public:
    bool isMatch(const char *s, const char *p) {
        int lenS = strlen(s);
        int lenP = strlen(p);

        vector<bool> dp(lenS+1, false);
        dp[0] = true;

        for (int j = 0; j < lenP; ++j) {
            if (j+1 < lenP && p[j+1] == '*')
                continue;
            if (p[j] == '*') {
                for (int i = 1; i <= lenS; ++i) {
                    dp[i] = dp[i] || (dp[i-1] && ISMATCH(s[i-1], p[j-1]));
                }
            }
            else {
                for(int i = lenS; i > 0; --i) {
                    dp[i] = dp[i-1] && ISMATCH(s[i-1], p[j]);
                }
                dp[0] = false;
            }
        }
        return dp[lenS];
    }
};