如何通俗的解释仿射变换？

原文地址：https://www.matongxue.com/madocs/244.html

简单来说，“仿射变换”就是：“线性变换”+“平移”。

先看什么是线性变换？

1 线性变换

线性变换从几何直观有三个要点：

• 变换前是直线的，变换后依然是直线
• 直线比例保持不变
• 变换前是原点的，变换后依然是原点

比如说旋转：

比如说推移：

这两个叠加也是线性变换：

自己动手试一下（观察下是否符合之前的三个要求）：

 

 

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1.1 代数

简单讲一下旋转是怎么实现的，可以让我们进一步了解代数是怎么描述线性变换的。

你可以手动操作下，会发现旋转矩阵在不断变化（为了方便观察旋转，我标记出一个顶点）：

 

 

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总结下来，线性变换是通过矩阵乘法来实现的。

2 仿射变换

仿射变换从几何直观只有两个要点：

• 变换前是直线的，变换后依然是直线
• 直线比例保持不变

少了原点保持不变这一条。

比如平移：

因此，平移不再是线性变化了，而是仿射变化。

2.1 代数

我们来看下仿射变换是怎么用代数来表示的。

上一节我们说了，线性变换是通过矩阵乘法来实现的，仿射变换不能光通过矩阵乘法来实现，还得有加法。

因为我们表示仿射变换为：

2.2 通过线性变换来完成仿射变换

这是我觉得非常优美的一个地方：

什么意思？继续举例子：

这样我就可以在三维空间下通过这个线性变换来操作平面上的二维正方形，完成仿射变换：

自己动手操作一下：

 

 

 

 

 

 

 

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我们平移到需要的位置的时候：

如果还有没有清楚的地方，可以结合之前的描述，看一下维基百科“仿射变换”词条里的一个gif动图，非常生动的表明了这一过程：