数字游戏

问题描述

　　栋栋正在和同学们玩一个数字游戏。

　　游戏的规则是这样的：栋栋和同学们一共n个人围坐在一圈。栋栋首先说出数字1。接下来，坐在栋栋左手边的同学要说下一个数字2。再下面的一个同学要从上一个同学说的数字往下数两个数说出来，也就是说4。下一个同学要往下数三个数，说7。依次类推。

　　为了使数字不至于太大，栋栋和同学们约定，当在心中数到 k-1 时，下一个数字从0开始数。例如，当k=13时，栋栋和同学们报出的前几个数依次为：
　　1, 2, 4, 7, 11, 3, 9, 3, 11, 7。

　　游戏进行了一会儿，栋栋想知道，到目前为止，他所有说出的数字的总和是多少。

输入格式

　　输入的第一行包含三个整数 n,k,T，其中 n 和 k 的意义如上面所述，T 表示到目前为止栋栋一共说出的数字个数。

输出格式

　　输出一行，包含一个整数，表示栋栋说出所有数的和。

样例输入

3 13 3

样例输出

17

样例说明

　　栋栋说出的数依次为1, 7, 9，和为17。

数据规模和约定

　　1 < n,k,T < 1,000,000；

---

Algorithm

最近感冒，大脑有点不好使，先是斐波那契函数，又来一个简单的数列都不会了。

先写一篇博客安慰一下这几天没有发博客的自己！

这种题型，都司空见惯了，看了下数据，一般模拟都会超时，再有，模拟大家都会，肯定不会让你模拟就过关。

数列，那么就可以有A(n)和S(n)的通项公式，我们可以直接求出我们需要的那一项，唯一需要注意的就是一旦数据过大，就会爆掉，为此我还用了快速乘，发现，没什么用，后来发现是知识不到位......

Mathtype敲公式很烦，博客园又不支持markdown，所以我就手打了。

好，现在我们知道A(1) = 1

- A(0) = 1;
- A(n) = n + A(n-1)
- A(n-1) = n-1 + A(n-2)
- A(n-2) = n-2 + A(n-3)
- ......
- A(2) = 2 + A(1)
- A(1) = 1 + A(0)
- A(0) = 0 + 1

很容易得到A(n) = A(0) + S(n)

其中，S(n)为等差数列n的前n项和。

关键在于，我们求A(2n)时，

不用再次求S(n)，而是直接加上 n*n

这相当于之前的每一项都加上 n，这样数据就不会爆掉。

A(2n) = A(n) + s(n) + n*n

---

AC

/*
- A(0) = 1;
- A(n) = n + A(n-1)
- A(n-1) = n-1 + A(n-2)
- A(n-2) = n-2 + A(n-3)
- ......
- A(2) = 2 + A(1)
- A(1) = 1 + A(0)    
- A(0) = 0 + 1
*/
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;

typedef long long ll;

// 快乘 
ll QMul(ll a, ll b)
{
    if(a < b) {a ^= b;b ^= a;a ^= b;}
    ll s = 0;
    while(b)
    {
        if(b&1) s += a;
        a = (a<<1);
        b >>= 1;
    }
    return s;
}

int main()
{
    ll n, k, T;
    n = k = T = 0;
    while(cin>>n>>k>>T)
    {
        ll s = 1, an = 1, c = n*(n+1)/2;T--;
        while(T--)
        {
            an = (an + c)%k;
            s += an;
            c += QMul(n, n);
        }
        cout<<s<<endl;
    }
    
    return 0;
}

2019-01-22

12:16:49