一、AVL 树
在计算机科学中，AVL树是最早被发明的自平衡二叉查找树。在AVL树中，任一节点对应的两棵子树的最大高度差为 1，因此它也被称为高度平衡树。查找、插入和删除在平均和最坏情况下的时间复杂度都是 O(log(n))。插入和删除元素的操作则可能需要借由一次或多次树旋转，以实现树的重新平衡。
节点的平衡因子是它的左子树的高度减去它的右子树的高度（有时相反）。带有平衡因子 1、0 或 -1 的节点被认为是平衡的。带有平衡因子 -2 或 2 的节点被认为是不平衡的，并需要重新平衡这个树。平衡因子可以直接存储在每个节点中，或从可能存储在节点中的子树高度计算出来。
大多数 BST 操作（例如，搜索，最大，最小，插入，删除等）花费 O(h) 时间，其中 h 是 BST 的高度。对于偏斜的二叉树，这些操作的成本可能变为 O(n)。如果确保每次插入和删除后树的高度都保持 O(log2n)，则可以保证所有这些操作的 O(log2n)上限。AVL树的高度始终为 O(log2n)，其中 n 是树中的节点数。
二、AVL 树的旋转
AVL 树在普通的插入和删除节点时都会使得树失去平衡，这时我们需要一些操作来把树恢复平衡，这些操作叫做AVL树的旋转，分为左旋和右旋。
T1，T2 和 T3 是树 y(左边) 或 x(右边) 的子树：
y x / Right Rotation / x T3 - - - - - - - > T1 y / < - - - - - - - / T1 T2 Left Rotation T2 T3
以上两个树中的键都遵循以下顺序（二叉查找树的性质）：
keys(T1) < key(x) < keys(T2) < key(y) < keys(T3)。
1 /** 2 * 右旋转以y为根的子树 3 * 4 * @param y 5 * @return 6 */ 7 private Node rightRoate(Node y) { 8 Node x = y.left; 9 Node T2 = x.right; 10 11 /* 执行旋转 */ 12 x.right = y; 13 y.left = T2; 14 15 /* 更新高度 */ 16 y.height = max(height(y.left), height(y.right)) + 1; 17 x.height = max(height(x.left), height(x.right)) + 1; 18 19 return x; 20 } 21 22 /** 23 * 左旋转以x为根的子树 24 * 25 * @param x 26 * @return 27 */ 28 private Node leftRoate(Node x) { 29 Node y = x.right; 30 Node T2 = y.left; 31 32 /* 执行旋转 */ 33 y.left = x; 34 x.right = T2; 35 36 /* 更新高度 */ 37 x.height = max(height(x.left), height(x.right)) + 1; 38 y.height = max(height(y.left), height(y.right)) + 1; 39 40 return y; 41 }
三、AVL 树的插入操作
插入要遵循的步骤：
新插入的节点为 w
1）对 w 执行标准 BST 插入。
2）从 w 开始，向上移动并找到第一个不平衡节点。令 z 为第一个不平衡节点，y 为从 w 到 z 的路径中 z 的子代，x 为从 w 到 z 的路径中 z 的孙代。
3）通过对以 z 为根的子树执行适当的旋转来重新平衡树。可能有 4 种可能的情况需要处理，因为 x，y 和 z 可以 4 种方式排列。以下是可能的 4 种排列方式：
a）y 是 z 的左子代，x 是 y 的左子代（左案例）
z y / / y T4 Right Rotate (z) x z / - - - - - - - - -> / / x T3 T1 T2 T3 T4 / T1 T2
b）y 是 z 的左子代，x 是 y 的右子代（左案例）
z z x / / / y T4 Left Rotate (y) x T4 Right Rotate(z) y z / - - - - - - - - -> / - - - - - - - -> / / T1 x y T3 T1 T2 T3 T4 / / T2 T3 T1 T2
c）y 是 z 的右子代，x 是 y 的右子代（右右案例）
z y / / T1 y Left Rotate(z) z x / - - - - - - - -> / / T2 x T1 T2 T3 T4 / T3 T4
d）y 是 z 的右子代，x 是 y 的左子代（右左案例）
z z x / / / T1 y Right Rotate (y) T1 x Left Rotate(z) z y / - - - - - - - - -> / - - - - - - - -> / / x T4 T2 y T1 T2 T3 T4 / / T2 T3 T3 T4
插入操作：
1 /** 2 * AVL树的插入 3 * 4 * @param node 5 * @param key 6 * @return 7 */ 8 private Node insert(Node node, int key) { 9 /* 执行正常的BST插入 */ 10 if (node == null) 11 return (new Node(key)); 12 13 if (key < node.key) 14 node.left = insert(node.left, key); 15 else if (key > node.key) 16 node.right = insert(node.right, key); 17 else // 不允许重复的key 18 return node; 19 20 /* 更新此祖先节点的高度 */ 21 node.height = 1 + max(height(node.left), height(node.right)); 22 23 /* 获取此祖先的平衡因子以检查此节点是否变为不平衡 */ 24 int balance = getBalance(node); 25 26 /* 如果此节点变得不平衡，则存在有4种情况 */ 27 if (balance > 1 && key < node.left.key) { 28 return rightRoate(node); 29 } 30 31 if (balance < -1 && key > node.right.key) { 32 return leftRoate(node); 33 } 34 35 if (balance > 1 && key > node.left.key) { 36 node.left = leftRoate(node.left); 37 return rightRoate(node); 38 } 39 40 if (balance < -1 && key < node.right.key) { 41 node.right = rightRoate(node.right); 42 return leftRoate(node); 43 } 44 45 return node; 46 }
四、AVL 树的删除操作
删除要遵循的步骤：
令 w 为要删除的节点
1）对 w 执行标准BST删除。
2）从 w 开始，向上移动并找到第一个不平衡节点。令 z 为第一个不平衡节点，y 为 z 的较大孩子，x 为 y 的较大孩子。请注意，x 和 y 的定义与此处的插入不同。
3）通过对以 z 为根的子树执行适当的旋转来重新平衡树。有 4 种可能的情况需要处理，因为 x，y 和 z 可以 4 种方式排列。以下是可能的 4 种排列方式：
a）y 是 z 的左子代，x是y的左子代（左案例）
z y / / y T4 Right Rotate (z) x z / - - - - - - - - -> / / x T3 T1 T2 T3 T4 / T1 T2
b）y 是 z 的左子代，x 是 y 的右子代（左案例）
z z x / / / y T4 Left Rotate (y) x T4 Right Rotate(z) y z / - - - - - - - - -> / - - - - - - - -> / / T1 x y T3 T1 T2 T3 T4 / / T2 T3 T1 T2
c）y 是 z 的右子代，x 是 y 的右子代（右右案例）
z y / / T1 y Left Rotate(z) z x / - - - - - - - -> / / T2 x T1 T2 T3 T4 / T3 T4
d）y 是 z 的右子代，x 是 y 的左代子（右左案例）
z z x / / / T1 y Right Rotate (y) T1 x Left Rotate(z) z y / - - - - - - - - -> / - - - - - - - -> / / x T4 T2 y T1 T2 T3 T4 / / T2 T3 T3 T4
与插入不同，在删除中，在 z 处进行旋转后，可能必须在 z 的祖先处进行旋转。因此，我们必须继续追踪路径，直到到达根为止。
删除操作：
1 /** 2 * AVL树的删除 3 * 4 * @param N 5 * @return 6 */ 7 private Node deleteNode(Node root, int key) { 8 if (root == null) 9 return root; 10 /* 如果要删除的key小于root的key，则它位于左子树中 */ 11 if (key < root.key) 12 root.left = deleteNode(root.left, key); 13 14 /* 如果要删除的key大于root的key，则它位于右子树中 */ 15 else if (key > root.key) 16 root.right = deleteNode(root.right, key); 17 18 /* 如果key与root的key相同，则这个节点要被删除 */ 19 else { 20 /* 只有一个孩子或没有孩子的节点 */ 21 if ((root.left == null) || (root.right == null)) { 22 Node temp = null; 23 if (temp == root.left) 24 temp = root.right; 25 else 26 temp = root.left; 27 28 /* 没有孩子的情况 */ 29 if (temp == null) { 30 temp = root; 31 root = null; 32 } else { // 只有一个孩子 33 root = temp; // 复制非空孩子的内容 34 } 35 36 } else { 37 /* 有两个子节点的节点：获取后继节点（在右侧子树中最小） */ 38 Node temp = minValueNode(root.right); 39 /* 将后继节点的数据复制到此节点 */ 40 root.key = temp.key; 41 /* 删除后继节点 */ 42 root.right = deleteNode(root.right, temp.key); 43 } 44 } 45 46 /* 如果树只有一个节点，则返回 */ 47 if (root == null) 48 return root; 49 50 /* 更新当前节点的高度 */ 51 root.height = max(height(root.left), height(root.right)) + 1; 52 /* 获取此节点的平衡因素 */ 53 int balance = getBalance(root); 54 55 /* 如果此节点变得不平衡，则有4种情况 */ 56 if (balance > 1 && getBalance(root.left) >= 0) { 57 return rightRoate(root); 58 } 59 60 if (balance > 1 && getBalance(root.left) < 0) { 61 root.left = leftRoate(root.left); 62 return rightRoate(root); 63 } 64 65 if (balance < -1 && getBalance(root.right) <= 0) { 66 return leftRoate(root); 67 } 68 69 if (balance < -1 && getBalance(root.right) > 0) { 70 root.right = rightRoate(root.right); 71 return leftRoate(root); 72 } 73 74 return root; 75 }
本文源代码：
1 package algorithm; 2 3 /** 4 * 自平衡二叉树，左右子树的高度差不大于1 5 */ 6 public class AVLTree { 7 8 private Node root; 9 10 /** 11 * 树高度 12 * 13 * @param N 14 * @return 15 */ 16 private int height(Node N) { 17 if (N == null) { 18 return 0; 19 } 20 return N.height; 21 } 22 23 private int max(int a, int b) { 24 return Math.max(a, b); 25 } 26 27 /** 28 * 右旋转以y为根的子树 29 * 30 * @param y 31 * @return 32 */ 33 private Node rightRoate(Node y) { 34 Node x = y.left; 35 Node T2 = x.right; 36 37 /* 执行旋转 */ 38 x.right = y; 39 y.left = T2; 40 41 /* 更新高度 */ 42 y.height = max(height(y.left), height(y.right)) + 1; 43 x.height = max(height(x.left), height(x.right)) + 1; 44 45 return x; 46 } 47 48 /** 49 * 左旋转以x为根的子树 50 * 51 * @param x 52 * @return 53 */ 54 private Node leftRoate(Node x) { 55 Node y = x.right; 56 Node T2 = y.left; 57 58 /* 执行旋转 */ 59 y.left = x; 60 x.right = T2; 61 62 /* 更新高度 */ 63 x.height = max(height(x.left), height(x.right)) + 1; 64 y.height = max(height(y.left), height(y.right)) + 1; 65 66 return y; 67 } 68 69 /** 70 * 获取N结点的平衡 71 * 72 * @param N 73 * @return 74 */ 75 private int getBalance(Node N) { 76 if (N == null) 77 return 0; 78 79 return height(N.left) - height(N.right); 80 } 81 82 /** 83 * AVL树的插入 84 * 85 * @param node 86 * @param key 87 * @return 88 */ 89 private Node insert(Node node, int key) { 90 /* 执行正常的BST插入 */ 91 if (node == null) 92 return (new Node(key)); 93 94 if (key < node.key) 95 node.left = insert(node.left, key); 96 else if (key > node.key) 97 node.right = insert(node.right, key); 98 else // 不允许重复的key 99 return node; 100 101 /* 更新此祖先节点的高度 */ 102 node.height = 1 + max(height(node.left), height(node.right)); 103 104 /* 获取此祖先的平衡因子以检查此节点是否变为不平衡 */ 105 int balance = getBalance(node); 106 107 /* 如果此节点变得不平衡，则存在有4种情况 */ 108 if (balance > 1 && key < node.left.key) { 109 return rightRoate(node); 110 } 111 112 if (balance < -1 && key > node.right.key) { 113 return leftRoate(node); 114 } 115 116 if (balance > 1 && key > node.left.key) { 117 node.left = leftRoate(node.left); 118 return rightRoate(node); 119 } 120 121 if (balance < -1 && key < node.right.key) { 122 node.right = rightRoate(node.right); 123 return leftRoate(node); 124 } 125 126 return node; 127 } 128 129 /** 130 * 给定一个非空的二叉查找树，返回树中最小key值的结点（注意无需遍历整个树） 131 * 132 * @param node 133 * @return 134 */ 135 private Node minValueNode(Node node) { 136 Node current = node; 137 138 while (current.left != null) 139 current = current.left; 140 141 return current; 142 } 143 144 /** 145 * AVL树的删除 146 * 147 * @param N 148 * @return 149 */ 150 private Node deleteNode(Node root, int key) { 151 if (root == null) 152 return root; 153 /* 如果要删除的key小于root的key，则它位于左子树中 */ 154 if (key < root.key) 155 root.left = deleteNode(root.left, key); 156 157 /* 如果要删除的key大于root的key，则它位于右子树中 */ 158 else if (key > root.key) 159 root.right = deleteNode(root.right, key); 160 161 /* 如果key与root的key相同，则这个节点要被删除 */ 162 else { 163 /* 只有一个孩子或没有孩子的节点 */ 164 if ((root.left == null) || (root.right == null)) { 165 Node temp = null; 166 if (temp == root.left) 167 temp = root.right; 168 else 169 temp = root.left; 170 171 /* 没有孩子的情况 */ 172 if (temp == null) { 173 temp = root; 174 root = null; 175 } else { // 只有一个孩子 176 root = temp; // 复制非空孩子的内容 177 } 178 179 } else { 180 /* 有两个子节点的节点：获取后继节点（在右侧子树中最小） */ 181 Node temp = minValueNode(root.right); 182 /* 将后继节点的数据复制到此节点 */ 183 root.key = temp.key; 184 /* 删除后继节点 */ 185 root.right = deleteNode(root.right, temp.key); 186 } 187 } 188 189 /* 如果树只有一个节点，则返回 */ 190 if (root == null) 191 return root; 192 193 /* 更新当前节点的高度 */ 194 root.height = max(height(root.left), height(root.right)) + 1; 195 /* 获取此节点的平衡因素 */ 196 int balance = getBalance(root); 197 198 /* 如果此节点变得不平衡，则有4种情况 */ 199 if (balance > 1 && getBalance(root.left) >= 0) { 200 return rightRoate(root); 201 } 202 203 if (balance > 1 && getBalance(root.left) < 0) { 204 root.left = leftRoate(root.left); 205 return rightRoate(root); 206 } 207 208 if (balance < -1 && getBalance(root.right) <= 0) { 209 return leftRoate(root); 210 } 211 212 if (balance < -1 && getBalance(root.right) > 0) { 213 root.right = rightRoate(root.right); 214 return leftRoate(root); 215 } 216 217 return root; 218 } 219 220 /** 221 * 先序遍历 222 * 223 * @param node 224 */ 225 private void preOrder(Node node) { 226 if (node != null) { 227 System.out.print(node.key + " "); 228 preOrder(node.left); 229 preOrder(node.right); 230 } 231 } 232 233 public static void main(String[] args) { 234 235 /* ---------------------------------------------------- */ 236 237 AVLTree tree = new AVLTree(); 238 239 /* 构造AVL树 */ 240 tree.root = tree.insert(tree.root, 9); 241 tree.root = tree.insert(tree.root, 5); 242 tree.root = tree.insert(tree.root, 10); 243 tree.root = tree.insert(tree.root, 0); 244 tree.root = tree.insert(tree.root, 6); 245 tree.root = tree.insert(tree.root, 11); 246 tree.root = tree.insert(tree.root, -1); 247 tree.root = tree.insert(tree.root, 1); 248 tree.root = tree.insert(tree.root, 2); 249 250 /* 构造的AVL树： 251 9 252 / 253 1 10 254 / 255 0 5 11 256 / / 257 -1 2 6 258 */ 259 System.out.println("Preorder traversal of constructed tree is : "); 260 tree.preOrder(tree.root); 261 262 tree.root = tree.deleteNode(tree.root, 10); 263 264 /* 删除10后的AVL树： 265 1 266 / 267 0 9 268 / / 269 -1 5 11 270 / 271 2 6 272 */ 273 System.out.println(); 274 System.out.println("Preorder traversal after "+ 275 "deletion of 10 :"); 276 tree.preOrder(tree.root); 277 } 278 } 279 280 class Node { 281 int key, height; 282 Node left, right; 283 284 Node(int d) { 285 key = d; 286 height = 1; 287 } 288 289 }