正弦函数的绝对值函数

遇到一个有趣的函数，即正弦函数的绝对值构成的函数 (y = | sin (x) |)，其中(x in (-infty, + infty)). 下面给出当(x in [-2 pi, 2 pi])时的函数图像：

一、函数(y = | sin (x) |)的特点

1. 这是一个周期函数;

2. 关于(x= pi cdot N)对称，(N=0, pm 1, pm 2, ldots), (pi)表示圆周率;

3. 在每个周期(x in [pi cdot (N-1), pi cdot N])内，前一半是增函数，而后一半是减函数，即在(x in [pi cdot (N-1), pi cdot N - frac{pi}{2}))上递增，而在(x in [pi cdot N - frac{pi}{2}, pi cdot N))上递减;

4. 离(pi cdot N)越近函数值越小，离(pi cdot N pm frac{pi}{2})越近函数值越大.

根据以上性质显然可以得到一个等式，(forall alpha), 有(|sin(pi cdot N + alpha)| = |sin(pi cdot N - alpha)|).

二、比较任意两个角度(alpha)和(eta)的(| sin (x) |)函数值

1. 首先, 确定(alpha)和(eta)各自所在区间的倍数(N_alpha)和(N_eta)的大小，例如：(alpha in [pi cdot N_alpha, pi cdot (N_alpha + 1)]), 以及(eta in [pi cdot N_eta, pi cdot (N_eta+ 1)]);

2. 然后，就可以得到对应于第一个周期的值，即：((alpha - pi cdot N_alpha) in [0, pi]), 以及((eta - pi cdot N_eta) in [0, pi]), 令( ilde{alpha} = alpha - pi cdot N_alpha), ( ilde{eta} = eta - pi cdot N_eta);

3. 最后，比较(| ilde{alpha} - frac{pi}{2}|)和(| ilde{eta} - frac{pi}{2}|)的值，越小所对应的(y = | sin (x) |)函数值越大.