Prufer编码

Prufer编码

1.概念

给定一棵带标号的无根树，找出编号最小的叶子结点，写下与它相邻的节点的编号，然后删掉这个叶子结点。反复执行这个操作直到只剩两个节点为止。由于节点数(n>2)的树总存在叶子节点，因此一棵(n)个节点的无根树唯一对应了一个长度为(n - 2)的数列，数列中的每个数都在(1)至(n)的范围内。

将Prufer序列中第一个数与没有出现在Prufer序列中的第一个数连边；之后按次序依次将第(2,3,…,n - 2)个数与其对应的未出现在Prufer序列中的第(2,3,…,n - 2)个数连边；最后剩下两个点直接连边。这样就重新构建出来了原来的无根树。

这样每一棵(n)个节点的无根树唯一的对应了一个(n - 2)长度的数列，数列中的每个数都在(1)至(n)的范围内。

2.性质

1. 易得(n)个点的无向完全图的生成树计数（(n)个点的有标号无根树的计数）为(n^{n-2})。
2. Prufer序列中某个编号出现的次数等于此编号节点在树中的度数减一。
3. 有(n)个节点，每个节点的度数分别为(D_{1}, D_{2}, …,D_{n})，此时无根树的个数为(dfrac{(n - 2) !}{[(D_{1} - 1)! (D_{2} - 1)!…(D_{n} - 1)!]})个，因为此时Prufer编码中的编号(i)出现了(D_{i} - 1)次。（即(n - 2)个元素，各不相同，其中第(i)种元素有(D_{i} - 1)个，求排列数）（例题：洛谷P2290）
4. 与上问条件相同，另有(m)个节点度数未知。设(left = (n - 2) - (D_{1} - 1) - (D_{2} - 1) - … - (D_{n} - 1))，则已知节点可能组合方式为(dfrac{(n - 2) !}{[(D_{1} - 1)! (D_{2} - 1)!…(D_{n} - 1)!] cdot left})，剩余(left)个位置由(m)个未知度数的节点自由填补，方案数为(m^{left})。所以答案为(dfrac{(n - 2) !}{[(D_{1} - 1)! (D_{2} - 1)!…(D_{n} - 1)!] cdot left} imes m^{left})。（例题：洛谷P2624）(因为有高精所以没写)