问题：
求出1~13的整数中1出现的次数,并算出100~1300的整数中1出现的次数？为此他特别数了一下1~13中包含1的数字有1、10、11、12、13因此共出现6次,但是对于后面问题他就没辙了。ACMer希望你们帮帮他,并把问题更加普遍化,可以很快的求出任意非负整数区间中1出现的次数（从1 到 n 中1出现的次数）。
思路：
思路1. 从1遍历到n,计算每个数中1的个数并累加，返回；
或
将1到n的int型数组转化成字符串，在遍历这个char数组，记录字符1出现的次数；
1 public class Solution { 2 public int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) { 3 int count=0; 4 StringBuffer s=new StringBuffer(); 5 for(int i=1;i<n+1;i++){ 6 s.append(i); 7 } 8 String str=s.toString(); 9 for(int i=0;i<str.length();i++){ 10 if(str.charAt(i)=='1') 11 count++; 12 } 13 return count; 14 } 15 }
分析：以上两种算法的时间复杂度为n log n ，效率太低，显然不是面试官想要的答案；
思路2： 首先要明白一点：
1 ~ 10: 在它们的个位中，x出现1次(x可取1~9)；
1 ~ 100: 在它们的十位中，x出现10次；
1 ~ 1000: 在它们的百位中，x出现100次；
依此类推：1~10^i: 在它们的左数第二位（右数第i位），x出现了10^(i-1)次。
得到规律如下：
1.如果第i位（个位开始）为0，则第i位可能出现1的次数由更高位决定，等于高位数字x当前位数的权重10^i-1；
2.如果第i位等于1，则第i位可能出现1的次数不仅受更高位影响，还受到低位影响，等于高位数字x当前位数的权重10^i-1 + 低位数字x+1；
3.如果第i位大于1，则第i位可能出现1的次数仅由更高位决定，等于高位数字x+1当前位数的权重10^i-1。
总结一下以上的算法，可以看到，当计算右数第 i 位包含的 X 的个数时：
- 取第 i 位左边（高位）的数字，乘以 10i−1，得到基础值 a。
- 取第 i 位数字，计算修正值：
- 如果大于 X，则结果为 a+10i−1。
- 如果小于 X，则结果为 a。
- 如果等 X，则取第 i 位右边（低位）数字，设为 b，最后结果为 a+b+1。
相应的代码非常简单，效率也非常高，时间复杂度只有 O(log10n)。
1 /** 2 * @param n 3 * @param x [1,9] 4 * @return 5 */ 6 public int NumberOfXBetween1AndN_Solution(int n,int x) { 7 if(n<0||x<1||x>9) 8 return 0; 9 int high,low,curr,tmp,i = 1; 10 high = n; 11 int total = 0; 12 while(high!=0){ 13 high = n/(int)Math.pow(10, i);// 获取第i位的高位 14 tmp = n%(int)Math.pow(10, i); 15 curr = tmp/(int)Math.pow(10, i-1);// 获取第i位 16 low = tmp%(int)Math.pow(10, i-1);// 获取第i位的低位 17 if(curr==x){ 18 total+= high*(int)Math.pow(10, i-1)+low+1; 19 }else if(curr<x){ 20 total+=high*(int)Math.pow(10, i-1); 21 }else{ 22 total+=(high+1)*(int)Math.pow(10, i-1); 23 } 24 i++; 25 } 26 return total; 27 }