【复习】欧拉函数

首先让我们来复习以下欧拉函数的概念。

• 写作(phi(i))，表示小于(i)的与(i)互质的数的个数
• 特殊的，(phi(1)=1);

根据定义我们可以得到其推导方法。

• 对于任意的(i∈[2,INF]),(i)都可以被拆分为(p1^{c1}*p2^{c2}*...pn^{cn})的形式，其中(pi)表示素数，而(ci)表示素数的次数，即把一个数拆成素数乘积的形式。
• 所以利用容斥原理，我们可得(phi(i))的推导：(phi(i)=N(1-1/p1)...(1-1/pn));

它有一些很优秀的性质：

• (phi)是积性函数。对于任意满足(gcd(a，b)=1)的(a，b)，都满足下面这个式子：(phi(ab)=phi(a)phi(b));
• 若(p|n)且(p^2|n)，则有(phi(n)=phi(n/p)*p)
  • 证明：若满足以上条件，则n和n/p的素数组成相同，不同的只有次数。根据定义式，可以得到(phi(n)=phi(n/p)*p).
• 若(p|n)且(p^2)不被(n)整除，则有(phi(n)=phi(n/p)*(p-1))
  • 证明：若满足(p|n)且(p^2)不被(n)整除，则(n)和(n/p)互质。满足(phi(n)=phi(n/p)*phi(p)=phi(n)=phi(n/p)*(p-1))

那么关键来了：我们要利用这些性质求解欧拉函数。

利用定义式，我们可以很容易想到常规推导：

    for(register int i=1;i<=n;++i)phi[i]=i;//先记为其本身
    for(register int i=2;i<=n;++i){
        if(phi[i]==i){//质数
            for(register int j=i;j<=n;j+=i){//处理后面的每一个i的倍数 
                phi[j]=phi[j]/i*(i-1);//利用定义式计算非积性求解情况 
            }
        }
    }
}

这个是建立在埃氏筛基础上的欧拉函数求法，复杂度是O(nlogn)，足以水过P2158 40000 的数据范围。但是如果数据更大的话，这种算法很显然是不优秀的，我们就要考虑更快的算法，于是便想到了同一个人名字命名的欧拉筛。（欧拉全家桶.jpg）

首先先考虑简单的欧拉筛求素数集。

    vis[1]=1;//vis记录素数情况，0为素数
    for(register int i=2;i<=n;++i){
         if(!vis[i])prime[++tot]=i;//素数
         for(register int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=n;++j){
               vis[i*prime[j]]=1;//合数标为1
               if(i%prime[j]==0)break;//j以后的都可以由更小的素数筛得
               //如i*prime[j+1]中i本身可以被分解为比prime[j+1]更小的质数。
         }
    }

同理，很容易就可以想到怎么对欧拉函数求解了。

    for(register int i=1;i<=n;++i)phi[i]=i;
    for(register int i=2;i<=n;++i){
        if(phi[i]==i){//i为质数 
            prime[++cnt]=i;//记录这个数位质数，最小质因子是它自己 
            phi[i]=i-1;
        }
        for(register int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;++j){//不超出n的范围
            if(i%prime[j]!=0){
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
                //如果i%prime[j]!=0，则i*prime[j]和prime[j]互质 
            }else{
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]);
                break;
            }
        } 
    }

就是这样~

什么时候会用到欧拉函数呢？通常我们要把它从复杂的模型里提取出来。例如[P2158 SDOI2008]仪仗队这个题目，就需要我们想到，对于任意一个首次出现的斜率，其gcd(x,y)一定为1即满足互质。认真思考后就会发现完全就是一个欧拉函数求和啦~

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(UPD)：关于欧拉筛的那个(break)作用的考虑。

毫不夸张的说，欧拉筛中的那个(break)是整个算法中最精华最让人赞叹的地方。下面我们来考虑一下这种情况：

• (prime[ ])中存储了所有的素数
• 在欧拉筛中，一旦出现(i\%prime[j]==0)，就在进行完本次运算后停止。
• 原因：既然已经有(i\%prime[j]=0),那么(prime[j])就是(i)的本身组成。在继续往后找的过程中，(prime[j])只会越来越大。为了符合只让(i)被其最小质因子筛掉一次的条件，我们在做完这次循环后就(break).