Burnside引理的感性证明

(Burnside)引理的感性证明：

• 其中：(G)是置换集合，(|G|)是置换种数，(T_i)是第(i)类置换中的不动点数。

[L = frac{1}{|G|} * sum T_i ]

我们以(2*2)的方格图染色来举例感性证明。

每个格子有(2)种方案，不考虑旋转重构一共就有(16)种。

其中对于每一种等价类（也可以称之为【旋转轨道】），他们上面的所有方案都是旋转重构的，我们只需要记一次就可以了。也就是说，我们所求的本质不同的方案数，其实就是等价类的个数。

• 置换(trans)的不动点：对于置换(trans)，置换后与自身相等不变的元素。

上面举出两种等价类的例子。可以看出，每一种等价类都在某些置换上是不动点（至少在0°是），且同一个等价类的所有元素，会同时作为(/)不作为某一个置换的不动点。手推一下可以得知，每一个等价类中所有元素，对不动点总数的贡献和恰好为(|G|)。

举例说明一下。

• (e.g)：
  • 元素(13)：在置换({1, 2, 3, 4})中均为不动点
    • 和它同构的仅有它本身，该等价类对不动点贡献(=4)
  • 元素(15)：在置换(1, 3)中为不动点。
    • 和它同构的共有(|[1, 2]|=2)个元素，该等价类对不动点贡献(=4)
  • 元素(i)：在置换(1,k + 1, 2k + 1, ...pK+1)中为不动点
    • 和它同构的共有(|[1, k]|=k)个元素，该等价类对不动点贡献(=p*k=|G|) （(p =|G| / k)）

由此我们就证出来了这个公式。其实证了也没啥用，只是图一个用着安心。

$$L = frac{1}{|G|} * sum T_i$$