「算法笔记」快速数论变换（NTT）

一、简介

前置知识：多项式乘法与 FFT。

FFT 涉及大量 double 类型数据操作和 (sin,cos) 运算，会产生误差。快速数论变换（Number Theoretic Transform，简称 NTT）在 FFT 的基础上，优化了常数及误差。

NTT 其实就是把 FFT 中的单位根换成了原根。

NTT 解决的是多项式乘法带模数的情况，可以说有些受模数的限制，多项式系数应为整数。

二、原根 与 NTT

「算法笔记」基础数论 2 中提及了原根的部分内容。

对于质数 (p)，若 (g) 为 (p) 的原根，则 (g^imod p\,(0leq i<p)) 互不相同。

考虑可以表示为 (p=acdot 2^k+1) 的质数 (p)。NTT 的模数一般选取这样符合要求的 (p)。比较常见的 (p) 有 (998244353=119cdot 2^{23}+1)、(1004535809=479cdot 2^{21}+1)，它们的原根都是 (3)。

NTT 与 FFT 几乎一样，只不过 FFT 中代入的是 (omega_n^k)，而 NTT 中代入的是 ({(g^{frac{p-1}{n}})}^k)。

({(g^{frac{p-1}{n}})}^k) 满足 FFT 中所用到的 (omega_n^k) 拥有的性质。

结论：(omega_n^kequiv {(g^{frac{p-1}{n}})}^kpmod p)，可以把 ({(g^{frac{p-1}{n}})}^k) 看成是 (omega_n^k) 的等价。证明略。

由于 (p) 可以表示为 (p=acdot 2^k+1) 的形式，并且多项式项数 (n) 已被我们补为 (2) 的幂次，所以 (frac{p-1}{n}) 一定为整数（注意 (nleq 2^k)，不然会出问题）。

代码只需在 FFT 的基础上稍作修改即可。复杂度同样为 (mathcal{O}(nlog n))。

//Luogu P3803 
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=3e6+5,mod=998244353;
int n,m,a[N],b[N],len,r[N],inv;
int mul(int x,int n,int mod){
    int ans=mod!=1;
    for(x%=mod;n;n>>=1,x=x*x%mod)
        if(n&1) ans=ans*x%mod;
    return ans;
}
void NTT(int a[N],int n,int opt){    //opt=1/-1: DFT/IDFT
    for(int i=0;i<n;i++)
        if(i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);
    for(int k=2;k<=n;k<<=1){
        int m=k>>1,x=mul(3,(mod-1)/k,mod),w=1,v; 
        if(opt==-1) x=mul(x,mod-2,mod);
        for(int i=0;i<n;i+=k,w=1)
            for(int j=i;j<i+m;j++) v=w*a[j+m]%mod,a[j+m]=(a[j]-v+mod)%mod,a[j]=(a[j]+v)%mod,w=w*x%mod;
    }
    if(opt==-1){
        inv=mul(len,mod-2,mod);
        for(int i=0;i<n;i++) a[i]=a[i]*inv%mod;
    }
} 
signed main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for(int i=0;i<=n;i++)
        scanf("%lld",&a[i]);
    for(int i=0;i<=m;i++)
        scanf("%lld",&b[i]);
    n=n+m+1;
    for(len=1;len<n;len<<=1); 
    for(int i=0;i<len;i++)
        r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?len>>1:0);
    NTT(a,len,1),NTT(b,len,1);
    for(int i=0;i<len;i++) a[i]=a[i]*b[i]%mod;
    NTT(a,len,-1);
    for(int i=0;i<n;i++)
        printf("%lld%c",a[i],i==n-1?'
':' ');
    return 0;
}

Update：改了改后的板子→link。