1、算法概述
用于生成连通无向图的最小代价生成树。
2、算法步骤
步骤一：树T初始状态为空；
步骤二：从图中任意选取一个点加入T；
步骤三：从图中找出能与T形成树的所有边，将代价最小的边加入T，形成新的树T；
步骤四：检查T中边的条数；
步骤五：如果条数小于n-1，返回步骤三，否则程序结束，T为最小代价生成树。
3、算法证明
要证明Prim算法生成的是最小生成树，我们分两步来证明：
（1）Prim算法一定能得到一个生成树；
（2）该生成树具有最小代价。
证明如下：
（1）Prim算法每次引入一个新边，都恰好引入一个新节点：如果少于1个，则新加入的边的两个端点已经在树中，引入新边后就会形成回路；如果多于一个，即2个，则这条边的两个端点都不在树中，这条边与原来的树就独立了，不再构成一个新的树。
由于第一步中已直接引入了一个顶点，所以只需再引入n-1条边（即n-1个顶点）即可。
假设Prim算法引入边数小于n-1，就意味着还有剩余的点与已生成的树没有相连，且剩余的点中没有任何点可以和树中的点连通，而由于原图是连通的，所以不可能存在这种情况，因此Prim算法不可能在此之前结束。
因此Prim算法必能引入n-1条边，此时得到的树是原图的生成树。
（2）下面我们用循环不变式证明生成的树具有最小代价。循环不变式如下：
假设每次引入新的边后形成的树T包含的点集为X，X中点与点之间的所有边构成一个子图G0，则T是G0的最小代价生成树。
初始化：引入新边之前，先直接引入一个点，由于此时G0中只有一个点，因此该点就是G的最小代价生成树。
保持：令
引入新边前的树是T0，点集是X0，构成的子图是G0，引入的边是e，相应的点是y；
得到新的树是T1，点集是X1=X0+y，构成的子图是G1。
假设T1不是G1的最小生成树，我们必然可以在G1中其它边中找到一条边d，由于T1本身是树，d加入后形成回路，回路中有代价大于d的边，将其中之一f删掉，从而得到代价更小的树。
首先d两个端点不可能都在G0中：否则f必然是T0中的边，这就意味着在T0中加入d，减去f可以得到代价更小的树，这与T0是G0的最小生产树矛盾；
因此，如果d存在，则必然是从y发出，连接G0中某个点。
e是y连接T0的边中最小的边：因为y与T0独立，所以y与T0相连的边，任意选一条加入都不会构成回路，即得到的仍然是树，因此e只需从这些边中选择代价最小的即可。
因此，所以d的代价大于等于e小于f。d,e,f位于一个环路上，f是环路中代价最大的边，或最大的边之一，且先于d、e被引入生成树。
1）假设f是代价最大的边，因为每次只能引入一个新节点，因此f两个端点必然有一个先于另一个被引入，而该点引出的边中，有小于f的，所以会先选择其他边，继而又可以依次引出环路上其它边，包括d、e，所以f不可能在d、e之前被引入，因此这种情况不可能存在；
2）假设f是代价最大的边之一，即环路中存在若干条代价等于f的最大边。这若干条可以是相邻的，也可以是不相邻的。我们可以想象这是一个环形，从y出发， 沿着d、e两个方向向两边延伸，直到两端都遇到最大边位为止，假设这是遇到的两个端点分别是y1、y2，根据Prim原则，这两个端点不可能同时进入树 中，假设y1先进入，因为通过y1可以引入边d、e，且d、e的代价都小于y2对应的那条最大边，因此y2对应的最大边绝不会在d、e之前进入树中，因此 这种情况也不可能发生。
综上1)、2）可知，d不存在，从而也就证明了T1是G1子图的最小生成树。
终止：算法结束时，图中所有点全部被加入树中，得到所有点（整个图）构成的最小代价生成树。
证明结束。