最大连续子数组和

题目描述

给定一个数组a[0,...,n-1],求其最大连续子数组(长度>=1)和

输入描述

第一行一个整数n(1<=n<=100000)，然后依次输入n个整数（每个整数范围[-5000, 5000]）

输出描述

输出一个整数表示最大子数组和

样例输入

5
1 -1 1 1 -1

样例输出

2

---

1.

O(n)的算法可以用DP。

设sum[i]为以第i个元素结尾且和最大的连续子数组。
假设对于元素i，所有以它前面的元素结尾的子数组的长度都已经求得，那么以第i个元素结尾且和最大的连续子数组实际上，要么是以第i-1个元素结尾且和最大的连续子数组加上这个元素，要么是只包含第i个元素，即sum[i] = max(sum[i-1] + a[i], a[i])。
可以通过判断sum[i-1] + a[i]是否大于a[i]来做选择，而这实际上等价于判断sum[i-1]是否大于0。
由于每次运算只需要前一次的结果，因此并不需要像普通的动态规划那样保留之前所有的计算结果，只需要保留上一次的即可，因此算法的时间和空间复杂度都很小。

代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
    int n, num;
    long sum, max;
    cin >> n;
    cin >> sum;
    max = sum;
    for (int i = 1; i < n; i++)
    {
        cin >> num;
        if (sum > 0)
            sum += num;
        else
            sum = num;
        if (sum > max)
            max = sum;
    }

    cout << max;

    return 0;
}

Reference：http://www.cnblogs.com/waytofall/archive/2012/04/10/2439820.html

2.

O(nlogn) 的算法可以用分治解决。

求一个数组a[low,high]的最大子数组，只有3种情况：

* 该子数组位于a[low,high]的左边，即位于a[low,mid]中，则可以递归的求解a[low,mid].

* 该子数组位于a[low,high]的右边，即位于a[mid+1,high]中，则可以递归的求解a[mid+1,high].

* 该子数组位于a[low,high]的中间，即包括了a[mid]，则直接从中间求解中间向左右延伸的最大子数组和，详见getMiddle函数。

* 返回上面三种情况的最大值，则是我们要求解的答案。

 

对于每一个子问题，即需要求的当前区间的最大连续子数组和，都逃不过以上三种可能性，而当前子问题的最优解，又构成以该子问题为基础的规模更大的子问题的一部分，所以向上回溯也可得到全局最优解，算法正确性得证。

 

代码如下：

class Solution:
    def getMidSum(self, lo, hi, mid):
        leftMax = float("-inf")
        rightMax = float("-inf")
        sum, i = 0, mid - 1
        while i > lo - 1:
            sum += self.nums[i]
            if sum > leftMax:
                leftMax = sum
            i -= 1
        sum, i = 0, mid
        while i < hi:
            sum += self.nums[i]
            if sum > rightMax:
                rightMax = sum
            i += 1
        return leftMax + rightMax

    def divConq(self, lo, hi):
        if hi - lo < 2:
            return self.nums[lo]
        else:
            mid = (lo + hi) >> 1
            leftSum = self.divConq(lo, mid)
            rightSum = self.divConq(mid, hi)
            midSum = self.getMidSum(lo, hi, mid)
            return max(leftSum, rightSum, midSum)

    # @param {integer[]} nums
    # @return {integer}
    def maxSubArray(self, nums):
        self.nums = nums
        return self.divConq(0, len(nums))

在求 getMidSum 的时候，有两点需要注意：

1. 从 mid 向两边求和，并不能简单的以 “当这个元素为正的时候就加进去，而遇到负数的时候就退出循环” 这样的策略，因为显然即便是包括mid元素在内的一段元素全部为正数的区间，也不并不一定是包含mid元素在内的最大连续和子区间（即便不要求包含 mid 也是如此）。倒是可以用 DP 的策略，但如果这样也没必要用 分治 了。对应的反例是 [1,2,-1,-2,2,1,-2,1,4,-5,4]。

2. 需考虑当区间长度小于等于 2 的情况不要留下 bug。因为 6-10行 以及 12-16行代码 的循环是必须要进入一次的，这样才能保证 leftMax 和 rightMax 被更新而不至于在已经需要函数返回的时候还保留是无穷大的值。也就是说，这两个循环所涉及的区间，至少要保证其中有元素。因为我所有的区间定义都是“左闭右开”式的，也就是 [lo, hi) 式的。所以当区间长度为 2 时，假设是 [0, 2)，那么 mid 为 1 （也就是mid值对于偶数长度区间其实是“右偏”的），所以我特意把对于 mid 的求和划到了右区间来做，这样保证第二个循环至少能进入一次。如果这里不这样做，则可能致使 rightMax 依然保持着负无穷的值，那么整个函数都会返回负无穷，这是不可取的。对应的反例是 [1,2]。