「NOIP2021模拟赛8.26 A」赝作家 题解

题目大意

• 有一张 (n) 个点 (m) 条边的有向无环图，没有重边，且从1号点出发能够到达所有点。

• 已知 ({1,2,3,...,n}) 是这张图的一种拓扑序列，求有多少种可能的图。

问题求解

我们发现这个问题可以分成三类

1. 对于 (m<n-1) 显然是 (0)

2. 对于 (m=n-1) 可以分析，第 (i) 个点，可以连到前 (i-1) 个点任意一个上都是一种不同的方案，所以答案就是 ((n-1)!)

3. 对于 (m=n) 的问题我们拿来分类讨论，设 (f(i)) 表示 (m) 条边 (n) 个点的方案数

• 如果第 (i) 个点连了两条边,剩下 (i-1) 个点连 (i-2) 条边，也就是 ((i-2)!) ，边要连到任意两个点上，也就是 (C_{i-1}^2)

• 如果第 (i) 个点连了一条边，显然方案数就是 (f(i-1) imes i)

所以 (f(i)=(i-2)! imes C_{i-1}^2 +f(i-1) imes i)

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=1e6+5;
const LL TT=998244353;
LL Fct[maxn],F[maxn],N,M;
inline int read(){
	int ret=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-f;ch=getchar();}
	while(ch<='9'&&ch>='0')ret=ret*10+ch-'0',ch=getchar();
	return ret*f;
}
int main(){
	N=read();M=read();Fct[0]=1;
	for(int i=1;i<=M;i++) Fct[i]=Fct[i-1]*i%TT;
	if(M==N-1){printf("%lld
",Fct[M]);}
	else if(M==N){for(LL i=1;i<N;i++)F[i]=(F[i-1]*i%TT+i*(i-1)/2%TT*Fct[i-1]%TT)%TT;printf("%lld
",F[N-1]);}
	else printf("%d
",0);
	return 0;
}