关于multi-index

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2017/02/22

将$D^{alpha}$和$partial^{alpha}$区别对待。$D^{alpha} overset{Delta}{=} (-i)^{|alpha|} partial^{alpha}$。这样定义之后，就有$D_x^{alpha} e^{i x cdot xi} overset{Delta}{=} xi^{alpha} e^{i x cdot xi}$。

1、$$D^{alpha}(fg) = sum_{delta leq alpha} {alpha choose delta} (D^{delta}f) cdot (D^{alpha - delta}g).$$

2、

egin{equation}
partial_x^{delta} x^{alpha} =
egin{cases}
delta ! {alpha choose delta} x^{alpha - delta}, & delta leq alpha \
0, & mbox{otherwise}.
end{cases}
end{equation}

3、当$|eta| = 1$时，我们可以将$alpha ! eta !$转化为$(alpha+eta)!$：$$frac{(alpha+eta)!}{alpha! eta!} =  alpha cdot eta + 1.$$ 其中$alpha cdot eta$表示两个向量的点乘。

4、设函数$f$与multi-index $alpha+eta$ 的值有关，我们忽略函数$f$的自变量，将$f$记为$f(alpha+eta)$，则当$|alpha| = N, ~|eta| = 1$时，我们可以用一个新的multi-index $gamma$来表示$f$: $$sum_{|alpha| = N, |eta| = 1} ig[f(alpha+eta)(alpha cdot eta+1) ig] = (N+1)sum_{|gamma| = N+1} f(gamma).$$