EditDistance,求两个字符串最小编辑距离，动态规划

问题描述：

题目描述
Edit Distance
Given two words word1 and word2, find the minimum number of steps required to convert word1 to word2. (each operation is counted as 1 step.)
You have the following 3 operations permitted on a word:
     a) Insert a character
     b) Delete a character
     c) Replace a character

算法分析： 

也就是说，就是将一个字符串变成另外一个字符串所用的最少操作数，每次只能增加、删除或者替换一个字符。
首先我们令word1和word2分别为：michaelab和michaelxy（为了理解简单，我们假设word1和word2字符长度是一样的），dis[i][j]作为word1和word2之间的Edit Distance，我们要做的就是求出michaelx到michaely的最小steps。

首先解释下dis[i][j]：它是指word1[i]和word2[j]的Edit Distance。dis[0][0]表示word1和word2都为空的时候，此时他们的Edit Distance为0。很明显可以得出的，dis[0][j]就是word1为空，word2长度为j的情况，此时他们的Edit Distance为j，也就是从空，添加j个字符转换成word2的最小Edit Distance为j；同理dis[i][0]就是，word1长度为i，word2为空时，word1需要删除i个字符才能转换成空，所以转换成word2的最小Edit Distance为i。下面及时初始化代码：

       for (int i = 0; i < row; i++) dis[i][0] = i;
       for (int j = 0; j < col; j++) dis[0][j] = j;

下面来分析下题目规定的三个操作：添加，删除，替换。

假设word1[i]和word2[j](此处i = j)分别为：michaelab和michaelxy

显然如果b==y, 那么dis[i][j] = dis[i-1][j-1]。

如果b!=y，那么：

添加：也就是在michaelab后面添加一个y，那么word1就变成了michaelaby，此时

dis[i][j] = 1 + dis[i][j-1]；

上式中，1代表刚刚的添加操作，添加操作后，word1变成michaelaby，word2为michaelxy。dis[i][j-1]代表从word[i]转换成word[j-1]的最小Edit Distance，也就是michaelab转换成michaelx的最小Edit Distance，由于两个字符串尾部的y==y，所以只需要将michaelab变成michaelx就可以了，而他们之间的最小Edit Distance就是dis[i][j-1]。

删除：也就是将michaelab后面的b删除，那么word1就变成了michaela，此时

dis[i][j] = 1 + dis[i-1][j]；

上式中，1代表刚刚的删除操作，删除操作后，word1变成michaela，word2为michaelxy。dis[i-1][j]代表从word[i-1]转换成word[j]的最小Edit Distance，也就是michaela转换成michaelxy的最小Edit Distance，所以只需要将michaela变成michaelxy就可以了，而他们之间的最小Edit Distance就是dis[i-1][j]。

替换：也就是将michaelab后面的b替换成y，那么word1就变成了michaelay，此时

dis[i][j] = 1 + dis[i-1][j-1]；

上式中，1代表刚刚的替换操作，替换操作后，word1变成michaelay，word2为michaelxy。dis[i-1][j-1]代表从word[i-1]转换成word[j-1]的最小Edit Distance，也即是michaelay转换成michaelxy的最小Edit Distance，由于两个字符串尾部的y==y，所以只需要将michaela变成michaelx就可以了，而他们之间的最小Edit Distance就是dis[i-1][j-1]。

/*
if x == y, then dp[i][j] == dp[i-1][j-1]
if x != y, and we insert y for word1, then dp[i][j] = dp[i][j-1] + 1
if x != y, and we delete x for word1, then dp[i][j] = dp[i-1][j] + 1
if x != y, and we replace x with y for word1, then dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
When x!=y, dp[i][j] is the min of the three situations.
Initial condition:
dp[i][0] = i, dp[0][j] = j
*/
public class EditDistance 
{
	public int minDistance(String word1, String word2) 
	{
        int len1 = word1.length();
        int len2 = word2.length();
        
        int dp[][] = new int[len1+1][len2+1];
        for(int i = 0; i <= len1; i ++)//word1删除元素
        {
        	dp[i][0] = i;
        }
        for(int j = 0; j <= len2; j ++)//word1插入元素
        {
        	dp[0][j] = j;
        }
        
        for(int i = 0; i < len1; i ++)
        {
        	char c1 = word1.charAt(i);
        	for(int j = 0; j < len2; j ++)
        	{
        		char c2 = word2.charAt(j);
        		if(c1 == c2)
        		{
        			dp[i+1][j+1] = dp[i][j];
        		}
        		else
        		{ 
        			int insert = dp[i+1][j] + 1;
        			int delete = dp[i][j+1] + 1;
        			int replace = dp[i][j] + 1;
        			int min = insert>delete ? delete : insert;
        			min = min > replace ? replace : min;
        			dp[i+1][j+1] = min;
        		}
        	}
        }
        return dp[len1][len2];
    }
}