整式的四则运算

前言

复习 引申，代数式指由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除加法和减法属于一级运算，二者互为逆运算；乘法和除法属于二级运算，二者互为逆运算；在运算顺序的确定中，级别越高，运算顺序越优先，这四种运算通常统称为四则运算，在四则混合运算中，先算乘除，后算加减；乘法和除法可以理解为加法和减法的简便运算；(;;)、乘方和开方乘方和开方属于三级运算，其可以理解为乘法和除法的简便运算；(quad)等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式称为代数式。在复数范围内，代数式分为有理式和无理式。有理式包括整式[除数中没有字母的有理式]和分式[除数中有字母且除数不为0的有理式]。这种代数式中对于字母只进行有限次加、减、乘、除和整数次乘方这些运算。整式又包括单项式[数字或字母的乘积，或者是单独的一个数字或字母]和多项式[若干个单项式的和]。我们把含有字母的根式、字母的非整数次乘方，或者是带有非代数运算的式子叫做无理式。无理式包括根式和超越式。我们把可以化为被开方式为有理式，根指数不带字母的代数式称为根式。我们把有理式与根式统称为代数式，把根式以外的无理式叫做超越式。

[代数式left{egin{array}{l}{有理式left{egin{array}{l}{整式left{egin{array}{l}{单项式:如2a,3x^4}\{多项式:如3x+2y^2-cfrac{3}{2}xz}end{array} ight.}\{分式:如cfrac{2y+3}{2x-1}}end{array} ight.}\{无理式left{egin{array}{l}{根式:如sqrt{2x-1},sqrt[3]{2x-1}},(x-1)^{frac{3}{2}}\{超越式:如2^x,2^{x+1},log_2x}end{array} ight.}end{array} ight. ]

注意：单项式(-cfrac{1}{2}xy)的次数是(2)次的；多项式(-cfrac{2}{3}x+x^2-3y^3)的次数是(3)次的，易错切记！

整式加减

• 同类项：在单项式(3ab^2)与(-4ab^2)中，它们都含有字母(a)，(b)，并且(a)都是一次，(b)都是二次，像(3ab^2)与(-4ab^2)这样，所含字母相同，并且相同字母指数也相同的项叫做同类项，需要特别提醒的是，几个常数项也叫同类项比如常数(2)(=)(2)(cdot)(x^0)，(cfrac{1}{2})(=)(cfrac{1}{2})(cdot)(x^0)，故几个常数项也叫同类项。(quad)。把多项式中同类项合并成一项叫做合并同类项比如(2xy)(-)(3yx)(=)(-xy)，(quad)。

• 我们可以运用交换律、结合律、分配律加法交换律:(a)(+)(b)(=)(b)(+)(a);
  乘法交换律:(a)(cdot)(b)(=)(b)(cdot)(a);
  加法结合律:
  (()(a)(+)(b)())(+)(c)(=)(a)(+)(()(b)(+)(c)());
  乘法结合律:
  ((acdot b)cdot c=acdot(bcdot c));
  乘法对加法的分配律:(a(b+c)=ab+ac);(quad)把多项式中的同类项进行合并。

合并同类项

(1).(5ab-2ab-3ab=)_________________;

(2).(mn+nm=)_________________;

(3).(-5x^{n}-x^{n}-(-8x^{n})=)_________________;

(4).(-5a^{2}-a^{2}-(-7a^{2})+(-3a^{2})=)_________________;

(5).若(cfrac{4}{5}a^{m-1}b^{2})与(3a^{3}b^{n})是同类项，则(m^{n})的值为_________________;

(6).若({3}^{2}a^{2}b^{m})与(-0.5a^{n}b^{4})的和是单项式，则(m=), (n=)____;

(7).把((x-1))当作一个整体[整体思想]，合并(3(x-1)^{2}-2(x-1)^{3}-5(1-x)^{2}+4(1-x)^{3}=)_________;

(8).把((m-n))当作一个整体，合并((m-n)^{2}+2(m-n)-cfrac{1}{3}(n-m)^{2}-3m+3n=)_______________;

在(cfrac{2}{3}ab^{2})与(cfrac{1}{3}b^{2}a)，(-2x^{3})与(-2y^{3})，(4abc)与(cab)，(a^{3})与(4^{3})，(-cfrac{2}{3})与(5)，(4a^{2}b^{3}c) 与(4ab)中，同类项有【】组

$A.5$ $B.4$ $C.3$ $D.2$

整式乘法

• 单项式乘以单项式

计算:

(1).(4a^{3}b^{2}cdot(-5ab^{3}))

(=[4 imes(-5)] cdotleft(a^{3} cdot a ight) cdotleft(b^{2} cdot b^{3} ight) quad)

(=-20 a^{4} b^{5})

(2).(left(-6 x^{3} y^{2} z ight) cdotleft(-frac{1}{2} x y^{3} ight))

(=[(-6) cdot(-cfrac{1}{2})](x^{3} cdot x)cdot(y^{2}cdot y^{3})cdot z)

(=3x^{4}y^{5}z)

【对应练习】 填空

①.(3a^{2}cdot4ab=)____________；

②.((2ab^{3})cdot(-4ab)=)____________；

③.((xy)^{3}cdot(-x^{2}y)=)____________；

④.((-3a^{2}b)cdot(-4ab)=)____________；

⑤.(2x^{2}y cdot cfrac{xy}{2} cdot 10x^{3}y^{4}=)____________；

⑥.((-3a^{3}b)cdot[-(sqrt{6})^2 a^{5} b^{4}]=)____________；

⑦.((2 imes10^{5}) imes(6 imes 10^{4})=)____________；

• 单项式乘以多项式

计算

(1).(2x^{3}(3x^{2}+2y-1))

解:原式 (=2x^{3}cdot 3x^{2}+2x^{3}cdot 2y-2x^{3}cdot 1)

(=6x^{5}+4x^{3}y-2x^{3})

(2)((-2x^{2})(x^{2}+3x-1))

解:原式 (=(-2x^{2})cdot x^{2}+(-2 x^{2})cdot x+(-2 x^{2})cdot(-1))

(=-2 x^{4}-2 x^{3}+2 x^{2})

【对应练习】

1. (2a^{3}(a^{2}-2b)=)____________；

2. (x^{3}(x^{2}+2x-3)=)____________；

3. ((-3x)cdot(x^{2}+4x+1)=)____________；

4. (-(2m^{4}+3m-2)+(4m^{5}+6m^{2}-4)m)____________；

5. ((2x+3y)(-5xy)=)____________；

6. ((-x)^{2}(x^{2}+x-7)=)____________；

• 多项式乘以多项式

计算:

(1).((2x+3)(x-2)=2x^{2}-4x+3x-6=2x^{2}-x-6)

(2).((3a+5b)(2a-4b)=6 a^{2}-12 a b+10 a b-20 b^{2})

【对应练习】

①.((x-1)(x+2))

②.((2a+b)(3m-3n))

③.((4x+3y)(3x-4y))

④.((cfrac{1}{3}x+2y)(cfrac{1}{3}x-3y))

⑤.((a+b)(a-b))

⑥.((a+b)^{2})

整式除法

• 单项式除以单项式

计算 :

(1).(28x^{4}y^{2}div 7x^{3}y)

(1-1).(28x^{4}y^{2}div (7x^{3}y))

(2).(-5a^{5}b^{3}cdiv 15a^{4}b)

(3).((2x^{2}y)^{3}cdot(-7xy^{2})div 14x^{4}y^{3})

(4).(5(2a+b)^{4}div(2a+b)^{2})

(5).(6x^{7}y^{5}zdiv16x^{4}y^{5})

(6).((-0.5a^{3}b)^{5}div(-cfrac{1}{2}a^{3}b)^{2})

(7).(cfrac{1}{2}a^{5}b^{3}div(-cfrac{1}{4}a^{3}b)cdot(-3a)^{2})

(8).(5x^{3}y^{2}div(-15xy))

(9).(6x^{4}y^{3}zdiv (3x^{2}y^{2})^{3}=cfrac{6x^{4}y^{3}z}{(3x^{2}y^{2})^{3}})

• 多项式除以单项式

计算 :

(1).((12a^{3}-6a^{2}+3a)div 3a)

(2).((21x^{4}y^{3}-35x^{3}y^{2}+7x^{2}y^{2})div(-7x^{2}y))

(3).([(x+y)^{2}-y(2x+y)-8x]div 2x)

(4).([(-3xy)^{2}x^{3}-2x^{2}(3xy^{2})^{3}cfrac{1}{2}y]div 9x^{4}y^{2})

(5).([(x+2y)(x-2y)+4(x-y)^{2}]div 6x)

• 提取公因式

提取公因式 :

(1).(4a^{2}b^{2}-3ab^{2}+8ab^{3}c)

(2).(7(2x-3y)^{2}-14(2x-3y)^{3}+21(2x-3y)^{5})

(3).(-cfrac{1}{2}x^{2}+2xy-xz)

(4).(-10x^{3}y^{2}z^{3}-35xy^{3}z^{2}+15x^{2}yz)

关联高中

齐次式

正切给出方式