设函数$f(x)=ax^2+(2b+1)x-a-2$($a,binmathcal R$，$a eq 0$)．
(1) 若$a=-2$，求函数$y=|f(x)|$在$[0,1]$上的最大值$M(b)$；
(2) 若函数$f(x)$在区间$(0,1)$有两个不同的零点，求证：$dfrac{(2+a)(1-2b)}{a^2}<dfrac{1}{16}$．
解答:(1) $a=-2$时，$$f(x)=-2x^2+(2b+1)x=-2xleft(x-b-dfrac 12
ight).$$ 所以$y=|f(x)|$的最值可能在$0,1,dfrac b2+dfrac 14$ 处取到，先分别计算$$f(0)=0,f(1)=2b-1,fleft(dfrac b2+dfrac 14
ight)=dfrac {(2b+1)^2}{8}geqslant 0.$$ 当$dfrac b2+dfrac 14<0$ 或$dfrac b2+dfrac 14>1$，即$b<-dfrac 12$或$b>dfrac 32$ 时，$$M(b)=|f(1)|=|1-2b|;$$ 当$-dfrac 12leqslant bleqslant dfrac 32$ 时，有$$M(b)=maxleft{|f(1)|,fleft(dfrac b2+dfrac 14
ight)
ight}.$$当$-dfrac 12leqslant bleqslant dfrac 12$ 时，考虑到$$fleft(dfrac b2+dfrac 14
ight)-|f(1)|=dfrac {4b^2+20b-7}{2},$$ 所以
当$b<dfrac {4sqrt 2-5}{2}$ 时，$fleft(dfrac b2+dfrac 14 ight)<|f(1)|$，此时$M(b)=|f(1)|$；
当$dfrac {4sqrt 2-5}{2}leqslant bleqslant dfrac 12$ 时，$$M(b)=fleft(dfrac b2+dfrac 14 ight).$$
当$dfrac 12<bleqslant dfrac 32$ 时，$fleft(dfrac b2+dfrac 14 ight)>f(1)=|f(1)|$，所以$M(b)=fleft(dfrac b2+dfrac 14 ight)$；
综上有，[M(b)=egin{cases} 1-2b,&b<dfrac{4sqrt 2-5}2,\ dfrac 18(1+2b)^2,&dfrac{-5+4sqrt 2}2leqslant bleqslant dfrac 32,\ 2b-1,&b>dfrac 32.end{cases}]
(2) 一方面，有$f(0)cdot f(1)=(-a-2)(2b-1)$．另一方面，设$f(x)$ 的两个零点分别为$x_1,x_2$，则$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$，于是[egin{split} f(0)cdot f(1)=&a(-x_1)(-x_2)cdot a(1-x_1)(1-x_2)\=&ax_1(1-x_1)x_2(1-x_2)\leqslant &a^2cdotleft(dfrac {x_1+1-x_1}{2}
ight)^2cdotleft(dfrac {x_2+1-x_2}{2}
ight)^2\=&dfrac{a^2}{16},end{split}] 因为$x_1
e x_2$，所以等号取不到，于是原命题得证．