函数$f(x)=sqrt[n]x(n-ln x),$其中$nin N^*,xin(0,+infty)$.
(1)若$n$为定值,求$f(x)$的最大值.
(2)求证:对任意$min N^+$,有$ln1+ln2+cdots+ln(m+1)>2(sqrt{m+1}-1)^2;$
(3)若$n=2,ln age1,$求证:对任意$k>0,$直线$y=-kx+a$与曲线$y=f(x)$有唯一公共点.
分析:
1)$f(x)le f(1)$即$sqrt[n]x(n-ln x)le n$
2)由(1),取$n=2$得$ln xge 2-dfrac{2}{sqrt{x}}$;注意到$dfrac{1}{sqrt{k}}le 2(sqrt{k}-sqrt{k-1})$
故$sumlimits_{k=2}^{m+1}ln kgesumlimits_{k=2}^{m+1}(2-dfrac{2}{sqrt{k}})$
$>sumlimits_{k=2}^{m+1}[2-4(sqrt{k}-sqrt{k-1})]$
$=2m-4(sqrt{m+1}-sqrt{1})=2(sqrt{m+1}-1)^2$
(3)$-kx+a=f(x)$有唯一解变形成$-k=dfrac{sqrt{x}(2-ln x)-a}{x}$有唯一解.
令$t=sqrt{x}>0$记$g(t)=dfrac{t(2-2ln t)-a}{t^2}$则由题意只需证明$y=-k<0$与$y=g(t)$的图像有唯一公共点.
$ecause limlimits_{t
ightarrow 0}dfrac{t(2-2ln t)-a}{t^2}=-infty; limlimits_{t
ightarrow +infty}dfrac{t(2-2ln t)-a}{t^2}=0$
又$g^{'}(t)=dfrac{-2t(2-ln t)+2a}{t^3}ge 0,( extbf{由}h(t)=-2t(2-ln t)+2age h(e)=2(a-e)ge0 extbf{可得})$
故由图可知对任意$k>0,y=-k$与$y=g(t)$由唯一公共交点.
注:这种图像唯一交点的题目通常可以通过上述方法,类似与参数分离,说明图像的变化趋势可得.
练习:(2018浙江高考压轴题)已知$f(x)=sqrt{x}-ln x$
（2）若$ale3-4ln2$,证明:对于任意$k$,直线$y=kx+a$与$y=f(x)$有唯一公共点.