已知等差数列${a_n}$满足:$|a_1|+|a_2|+cdots+|a_n|=|a_1+1|+|a_2+1|+cdots+|a_n+1|=|a_1-1|+|a_2-1|+cdots+|a_n-1|=98$ 则$n$的最大值为_____
分析:注意到$|a_k+1|+|a_k-1|ge2|a_k|$当$a_kge1vee a_kle -1$时等号成立.故
$2*98=|a_1+1|+|a_2+1|+cdots+|a_n+1|+|a_1-1|+|a_2-1|+cdots+|a_n-1|ge 2(|a_1|+|a_2|+cdots+|a_n|)=2*98$
故$a_kge1vee a_kle -1$,不妨设公差$dge0$且$a_1,cdots a_kle-1,a_{k+1}cdots+ a_nge1$则
$|a_1|+|a_2|+cdots+|a_n|=-(a_1+a_2+cdots+a_k)+(a_{k+1}+cdots a_n)=98$且
$|a_1-1|+|a_2-1|+cdots+|a_n-1|=k-(a_1+cdots a_k)+(n-k)+a_{k+1}+cdots +a_n=98$故$n=2k$
$98=|a_1|+|a_2|+cdots+|a_n|=-(a_1+a_2+cdots+a_k)+(a_{k+1}+cdots a_n)=k^2d$
注意到$d=a_{k+1}-a_kge2$
故$k^2=dfrac{98}{d}le49,n=2kle14$
练习:(第二届东南联赛第二天第7题)
解答:
