已知首项为$a_1$公比为$q$的等比数列${a_n}$满足$q^4+a_4+a_3+a_2+1=0$则$a_1$的取值范围_____
答案:$in(-infty,-dfrac{2}{3}]cup[2,+infty)$
分析:由题意
$a_1=-dfrac{1+q^4}{q+q^2+q^3}=-dfrac{q^2+frac{1}{q^2}}{q+frac{1}{q}+1}=-dfrac{(q+frac{1}{q})^2-2}{q+frac{1}{q}+1}=-dfrac{t^2-2}{t+1}in(-infty,-dfrac{2}{3}]cup[2,+infty)$
其中$t=q+dfrac{1}{q}in(-infty,-2]cup[2,+infty)$
注:关键一步变形$-dfrac{1+q^4}{q+q^2+q^3}=-dfrac{q^2+frac{1}{q^2}}{q+frac{1}{q}+1}$. 遇到这种分子分母次数很高且非齐次的分式结构,上下同时除以$q^2$ 的技巧也是常见的.