(清华THUSSAT，多选题)
平面上 4 个不同点 (P_1,P_2,P_3,P_4)，在每两个点之间连接线段得到 6 条线段. 记
对任意三点不共线的所有四点组 (P_1,P_2,P_3,P_4)，把 (dfrac{L}{l}) 的取值集合记为 (P)，则
A.(0.5 in P)
B.(1 in P)
C.(sqrt{2} in P)
D.(2 in P)
答案:C.D，构造如下:
此题是著名的"Heilbronn问题"在4个点时的情形,一般的由以下结论(lambda_nge2cosdfrac{pi}{n})当(nge6)时尚不知道能否取到等号.
事实上1985全国联赛最后一题就是考察了5个点的情形.
（1985联赛加试）平面上任给5个点，以(lambda)表示这些点间最大的距离与最小的距离之比，证明：(lambda≥2sin54^o)
证明：
⑴ 若此五点中有三点共线，例如A、B、C三点共线，不妨设B在A、C之间，则AB与BC必有一较大者．不妨设AB≥BC．则(dfrac{AC}{BC}≥2>2sin54^o)
⑵ 设此五点中无三点共线的情况．
① 若此五点的凸包为正五边形．则其五个内角都(=108^o)五点的连线只有两种长度：正五边形的边长与对角线，而此对角线与边长之比为(2sin54^o)．
② 若此五点的凸包为凸五边形．则其五个内角中至少有一个内角(≥108^o)．设(angle EAB≥108^o)，且(EA≥AB)，则(angle AEB≤36^o, herefore dfrac{BE}{AB} = dfrac{sin(B+E)}{sinE} ≥dfrac{sin2E}{sinE} =2cosE≥2cos36^o=2sin54^o)．
③ 若此五点的凸包为凸四边形ABCD，点E在其内部，连AC，设点E在(Delta ABC)内部，则(angle AEB,angle BEC,angle CEA)中至少有一个角(≥120^o>108^o)，由上证可知，结论成立．
④ 若此五点的凸包为三角形ABC，则形内有两点D、E，则(angle ADB,angle BDC,angle CDA)中必有一个角(≥120^o)，结论成立．
综上可知，结论成立．