已知(a+b=1),求((a^3+1)(b^3+1))的最大值______
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解答:
[egin{align*}
(a^3+1)(b^3+1)
&=a^3+b^3+a^3+b^3+1\
&=(a+b)^3(a^2+b^2-ab)+a^3b^3+1\
&overset{t=ab}{=}t^3-3t+2\
&=(t-1)^2(t+2)\
&=dfrac{1}{2}(1-t)(1-t)(2t+4)le4\
end{align*}]
当(t=-1)即({a,b}={dfrac{1+sqrt{5}}{2},dfrac{1-sqrt{5}}{2}})
最后一步不等式用了三元的基本不等式。
评:很多同学有一个固定的思维,对于这类条件和问题都对称的题目的最值一定是在(a=b)的时候取到，对于这类学生此题分分钟打脸。事实上(a=b=dfrac{1}{2})时取到最小值.