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  • MT【181】横穿四象限

    设函数$f(x)=dfrac{1}{x-a}-dfrac{lambda}{x-2}$,其中$a,lambdain R$
    记$A_1={(x,y)|x>0,y>0},A_2={(x,y)|x<0,y>0},A_3={(x,y)|x>0,y<0},$
    $A_4={(x,y)|x<0,y<0},M={(x,y)|y=f(x)}$,
    若对任意的$lambdain(1,3),Mcap A_i e varnothing(i=1,2,3,4) $,求$a$的范围.

    分析:

    考虑到$limlimits_{xlongrightarrow 2^+}f(x)=-infty;limlimits_{xlongrightarrow 2^-}f(x)=+infty$
    所以图像恒过第一第四象限;
    当$a<0$时,$limlimits_{xlongrightarrow a^-}f(x)=-infty;limlimits_{xlongrightarrow a^+}f(x)=+infty$此时图像过第二第四象限,满足题意;
    当$age0$时,由于$f(x)$是由两个基本初等函数通过加减乘除及其复合运算构成的,其在定义区间上连续,故只需考虑

    $f(x)=dfrac{1}{x-a}-dfrac{lambda}{x-2}=0$对任意$lambdain(1,3)$在$xin(-infty,0)$有解.
    即$x=dfrac{lambda a-2}{lambda-1}$对任意$lambdain(1,3)$在$xin(-infty,0)$有解.得$ale dfrac{2}{3}$特别的$lambda=2,a=0.5$时如图:

    可以说明必要性也是充分性.

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/mathstudy/p/9019116.html
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