是否存在一个正方体,它的8个顶点到某一个平面的距离恰好为$0,1,2,3,4,5,6,7$ ?若存在指出正方体与相应的平面的位置关系.不存在说明理由.
分析:设平面$alpha$的单位法向量为$overrightarrow{n}=(x,y,z), extbf{其中}x^2+y^2+z^2=1$.
如图以A为原点,$AB,AD,AA_1$分别为$x,y,z$轴建系.设正方体边长为 $t$ 由题意并考虑各面中心重合得
$$
egin{cases}
overrightarrow{AB}cdotoverrightarrow{n}=&1\
overrightarrow{AD}cdotoverrightarrow{n}=&2\
overrightarrow{AA_1}cdotoverrightarrow{n}=&4\
end{cases}
$$
得 $tx=1,ty=2,tz=4$ 故 $t=sqrt{21}$
又
$$
egin{cases}
overrightarrow{AC}cdotoverrightarrow{n}=&3\
overrightarrow{AC_1}cdotoverrightarrow{n}=&7\
overrightarrow{AB_1}cdotoverrightarrow{n}=&5\
overrightarrow{AD_1}cdotoverrightarrow{n}=&6\
end{cases}$$
得 $t(x+y)=3,t(z+x)=5,t(y+z)=6,t(x+y+z)=7$
得 $x=dfrac{1}{sqrt{21}},y=dfrac{2}{sqrt{21}},z=dfrac{4}{sqrt{21}}$