一，问题描述
给定两个字符串，求解这两个字符串的最长公共子序列（Longest Common Sequence）。比如字符串1：BDCABA；字符串2：ABCBDAB
则这两个字符串的最长公共子序列长度为4，最长公共子序列是：BCBA
二，算法求解
这是一个动态规划的题目。对于可用动态规划求解的问题，一般有两个特征：①最优子结构；②重叠子问题
①最优子结构
设 X=(x1,x2,.....xn) 和 Y={y1,y2,.....ym} 是两个序列，将 X 和 Y 的最长公共子序列记为LCS(X,Y)
找出LCS(X,Y)就是一个最优化问题。因为，我们需要找到X 和 Y中最长的那个公共子序列。而要找X 和 Y的LCS，首先考虑X的最后一个元素和Y的最后一个元素。
1）如果 xn=ym，即X的最后一个元素与Y的最后一个元素相同，这说明该元素一定位于公共子序列中。因此，现在只需要找：LCS(Xn-1，Ym-1)
LCS(Xn-1，Ym-1)就是原问题的一个子问题。为什么叫子问题？因为它的规模比原问题小。（小一个元素也是小嘛....）
为什么是最优的子问题？因为我们要找的是Xn-1 和 Ym-1 的最长公共子序列啊。。。最长的！！！换句话说，就是最优的那个。（这里的最优就是最长的意思）
2）如果xn != ym，这下要麻烦一点，因为它产生了两个子问题：LCS(Xn-1，Ym) 和 LCS(Xn，Ym-1)
因为序列X 和 序列Y 的最后一个元素不相等嘛，那说明最后一个元素不可能是最长公共子序列中的元素嘛。（都不相等了，怎么公共嘛）。
LCS(Xn-1，Ym)表示：最长公共序列可以在(x1,x2,....x(n-1)) 和 (y1,y2,...yn)中找。
LCS(Xn，Ym-1)表示：最长公共序列可以在(x1,x2,....xn) 和 (y1,y2,...y(n-1))中找。
求解上面两个子问题，得到的公共子序列谁最长，那谁就是 LCS（X,Y）。用数学表示就是：
LCS=max{LCS(Xn-1，Ym)，LCS(Xn，Ym-1)}
由于条件 1) 和 2) 考虑到了所有可能的情况。因此，我们成功地把原问题 转化 成了 三个规模更小的子问题。
②重叠子问题
重叠子问题是啥？就是说原问题 转化 成子问题后， 子问题中有相同的问题。咦？我怎么没有发现上面的三个子问题中有相同的啊？？？？
OK，来看看，原问题是：LCS(X,Y)。子问题有 ❶LCS(Xn-1，Ym-1) ❷LCS(Xn-1，Ym) ❸LCS(Xn，Ym-1)
初一看，这三个子问题是不重叠的。可本质上它们是重叠的，因为它们只重叠了一大部分。举例：
第二个子问题：LCS(Xn-1，Ym) 就包含了：问题❶LCS(Xn-1，Ym-1)，为什么？
因为，当Xn-1 和 Ym 的最后一个元素不相同时，我们又需要将LCS(Xn-1，Ym)进行分解：分解成：LCS(Xn-1，Ym-1) 和 LCS(Xn-2，Ym)
也就是说：在子问题的继续分解中，有些问题是重叠的。
由于像LCS这样的问题，它具有重叠子问题的性质，因此：用递归来求解就太不划算了。因为采用递归，它重复地求解了子问题啊。而且注意哦，所有子问题加起来的个数 可是指数级的哦。。。。
这篇文章中就演示了一个递归求解重叠子问题的示例。
那么问题来了，你说用递归求解，有指数级个子问题，故时间复杂度是指数级。这指数级个子问题，难道用了动态规划，就变成多项式时间了？？
呵呵哒。。。。
关键是采用动态规划时，并不需要去一 一 计算那些重叠了的子问题。或者说：用了动态规划之后，有些子问题 是通过 “查表“ 直接得到的，而不是重新又计算一遍得到的。废话少说：举个例子吧！比如求Fib数列。关于Fib数列，可参考：
求fib(5)，分解成了两个子问题：fib(4) 和 fib(3)，求解fib(4) 和 fib(3)时，又分解了一系列的小问题....
从图中可以看出：根的左右子树：fib(4) 和 fib(3)下，是有很多重叠的！！！比如，对于 fib(2)，它就一共出现了三次。如果用递归来求解，fib(2)就会被计算三次，而用DP(Dynamic Programming)动态规划，则fib(2)只会计算一次，其他两次则是通过”查表“直接求得。而且，更关键的是：查找求得该问题的解之后，就不需要再继续去分解该问题了。而对于递归，是不断地将问题分解，直到分解为 基准问题(fib(1) 或者 fib(0))
说了这么多，还是要写下最长公共子序列的递归式才完整。借用网友的一张图吧：）
c[i,j]表示：(x1,x2....xi) 和 (y1,y2...yj) 的最长公共子序列的长度。（是长度哦，就是一个整数嘛）。公式的具体解释可参考《算法导论》动态规划章节
三，LCS python实现
1 def LCS(str1, str2): 2 c = [[0 for i in range(len(str2)+1)] for j in range(len(str1)+1)] 3 for i in range(1, len(str1)+1): 4 for j in range(1, len(str2)+1): 5 if str1[i-1] == str2[j-1]: 6 c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1 7 else: 8 c[i][j] = max(c[i][j-1], c[i-1][j]) 9 print c 10 return c[-1][-1] 11 12 if __name__ == '__main__': 13 str1 = 'BDCABA' 14 str2 = 'ABCBDAB' 15 print LCS(str1, str2)
感觉整个代码就是直接根据上面的那个递归表达式写的。
①第1行定义一个数组来保存最长公共子序列的长度
②第7，8行，就是递归表达式的程序表示。就是： c[i,j] = max{c[i][j-1], c[i-1][j]}
③第10行返回最终结果。